2定点を見込む角の最大

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解説の相加相乗でx+A/x≧√Aとなっていますが、x+A/x≧2√Aの誤りですm(_ _)m

two-point-max

以下はGeoGebraによる作図です。自分でスライダーを動かしてみてください。自動再生もできます。

3点 [福井大] が最大のとき,\ ∠{APB}\ が最大となる.}$ ∠{APB}を余弦定理やベクトルの内積としてとらえると計算が大変である. {座標平面上の2直線のなす角は,\ tan の加法定理でとらえる}のがよい. 本問は,\ 状況的に必ず\ となるため,\ 絶対値をつける必要はない. 仮につけたとしても,であるからすぐにはずすことができる. 後は,\ {(a-b)x}{x²+ab}\ を最大にするxをどう求めるかが問題である. 理系ならば,\ 最悪数III}の微分を用いることもできるが,\ 面倒で応用も利かない. 本問に限らず,\ x}{x²+A}\ の最大}値}はよく問われるので,\ 次の手順を覚えておく. まず,\ {x0\ の確認後,\ 分母分子をxで割る.}  {x}{x²+A}={1}{x+ Ax} これは,\ {変数を分母に集め,\ 散らばりを少なくする}効果をもつ. 後は,\ {分母x+ Axの最小}値}を求めればよい.\ {相加相乗平均の関係}を適用できる. \のとき a+b2{ab} (等号成立a=b)} よって x+ Ax2{x Ax}={A} より {1}{x+ Ax}{1}{2{A こうして,\ tan∠{APB}は,\ x={ab}\ のとき,\ 最大値\ {a-b}{2{ab\ をとることがわかる. { でtanθ\ が単調増加}することを考慮すれば,\ これが求めるxである.  [図形的解法(方べきの定理の利用)]  ${3点A,\ B,\ P}を通る円}において,\ ∠{APBは弦AB}に対する円周角である.$  $円の半径が最小となるとき,\ 円周角∠{APB}は最大となる.}$  $また,\ 円の半径が最小となるのは,\ 円がx軸に接するとき}である.$  $方べきの定理}よ {2定点を見込む角は,\ 円を持ち出して考える}という発想は常に持っておきたい. 一般に,\ {2定点を一定角度で見込む点は円弧上にある(円周角の定理の逆).} また,\ {円内ではより大きい角,\ 円外ではより小さい角となる.} これを考慮すると,\ 見込む角を大きくするには,\ 円をできるだけ小さくすればよい. {P}がx軸上にある条件下で最小円となるのは,\ {円がx軸と接するとき}である. 実際,\ 上図において接点以外のx軸上の点は全て円の外部となる. よって,\ その点から見込む角は,\ 接点を{P}としたときの{∠ APB}よりも小さくなる. 接するときの{OP}の長さが求めるxであり,\ {方べきの定理}で求めると簡潔に済む. 円と交わる2直線をx軸,\ y軸,\ その交点を原点ととらえて 本問はサッカーでシュートを打つべき位置を考えるときの1つのモデルである. {線分AB}をゴールとし,\ 選手はゴールラインと垂直にx軸上を走っているとする. このとき,\ 上図の接点{P}の位置から打つと最も入りやすいといえるのである.
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