三角関数の最大・最小①(関数の統一・角の統一)

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次の関数の最大値と最小値を求めよ.\ また,\ そのときの$\theta$の値を求めよ. 三角関数の最大・最小\maru1(関数・角の統一 三角関数の相互関係\,\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\,を用いると\bm{関数を\cos\theta\,に統一}できる. \\[.2zh] \cos\theta\,の2次関数に帰着するが,\ \bm{定義域を確認}した上で最大・最小を求める必要がある. \\[.2zh] 0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\,のとき,\ \bm{\cos\theta\,がとりうる値の範囲は0\leqq\cos\theta\leqq1}である. \\[1zh] \cos\theta\,のままだとわかりにくいという人は,\ 一旦\,\cos\theta=t\,とおけばよい. \\[.2zh] y=-\,t^2+t+2\ \ (0\leqq t\leqq1)\ の最大・最小問題である. \\[.4zh] 結局,\ t=\cos\theta=\bunsuu12\ のとき最大値\,\bunsuu94,\ \ t=\cos\theta=0,\ 1\ のとき最小値2をとる. \\[.8zh] \cos の2倍角の公式には,\ 3通りの表現\,\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta\,がある. \\[.2zh] このうち,\ \bm{関数と角を同時に統一}できる\,\sin\theta\,のみの表現を適用する. \\[.2zh] \sin\theta\,の2次関数となるから,\ \sin\theta\,のとりうる値の範囲を確認した上で最大・最小を求める. \\[.2zh] 結局,\ y=2t^2+2t-1\ \ (-\,1\leqq t\leqq1)\ の最大・最小問題に帰着する. \bm{同じ角の \sin と \cos の積は,\ 2倍角の公式\,\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\,を逆に用いて1つの \sin にできる.} \\[.2zh] これを2回繰り返すと\,\sin2\theta\,の最大・最小に帰着するので,\ 角2\theta\,の範囲を確認した上で求める.
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