三角関数の最大・最小①(関数・角の統一)

max-min

sin²θ+cos²θ=1\ を用いて,\ {関数をcosθ\ に統一}する. cosθ\ の2次関数に帰着するが,\ {定義域を確認}して最大・最小を求める. 0θ{π}{2}\ のとき,\ {cosθ\ がとりうる値の範囲がyの定義域}となる. 単位円を描いて定義に基づき範囲を求める.\ cosθ\ は図形的にはx座標である. 0θ{π}{2}\ のとき,\ 0 x1\ であるから,\ 0cosθ1\ である. cosθ\ のままだとわかりにくいという人は,\ 一旦\ cosθ=t\ とおけばよい. 要は,\ y=-t²+t+2(0 t1)\ の最大・最小問題である. 結局,\ t=cosθ=12\ のとき最大,t=cosθ=0,\ 1\ のとき最小をとる. このときの\ θ\ も,\ 単位円を描いて定義に基づき図形的に求める. cos の2倍角の公式は3通りの表現がある. {関数と角を同時に統一}するため,\ sinθ\ のみの表現を適用する. sinθ\ の2次関数となるから,\ 定義域としてsinθ\ のとりうる値の範囲を求める. 0θ2π\ より,\ 角は1周するから,\ 単純に\ -1sinθ1\ である. 結局,\ y=2t²+2t(-1 t1)\ の最大・最小問題に帰着する.

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