三角関数の積和・和積の公式の証明

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積→和の公式 ① $\sinα\cosβ=12\{\sin}(α+β)\ +}\ \sin}(α-β)\$} ② $\cosα\sinβ=12\{\sin}(α+β)\ -}\ \sin}(α-β)\$} ③ $\cosα\cosβ=12\{\cos}(α+β)\ +}\ \cos}(α-β)\$} ④ $\sinα\sinβ=-}\ 12\{\cos}(α+β)\ -}\ \cos}(α-β)\和→積の公式 ⑤ $\sin A+\sin B=2\ \sin}A+B}{2}\ \cos}A-B}{2$} ⑥ $\sin A-\sin B=2\ \cos}A+B}{2}\sin}A-B}{2$} ⑦ $\cos A+\cos B=2\ \cos}A+B}{2}\cos}A-B}{2$} ⑧ $\cos A-\cos B=-}\ 2\ \sin}A+B}{2}\sin}A-B}{2$} \end{tabular 見た目の複雑さに加え,\ 学習上の位置づけも難しいという極めて厄介な公式群である. 積→和は加法定理から容易に導けるため,\ 丸暗記の利点は少ない. 一方,\ 和→積を導こうとすると,\ 一旦積→和を経由する必要がある. しかも,\ 数I-.2zw}I}では積→和よりも和→積の利用のほうが多い. それゆえ,\ 和→積は丸暗記しておくことが推奨される. ちなみに,\ 数I-.2zw}I-.2zw}I}では積→和の利用が多くなる. 式が紛らわしく覚えにくいと感じるかもしれないが,\ 逆に違う部分さえ暗記すればよい}と考える. なお,\ 公式の導出自体が問われることもあるので注意してほしい. 積→和の公式の導出  加法定理の正負ペアの和または差を計算する. $cccrclc} & \sin(α+β)&=&\sinα\cosβ&+&\teisei{\cosα\sinβ & ・・・・・・\,\maru{ A} \\ +}) & \sin(α-β)&=&\sinα\cosβ&-&\teisei{\cosα\sinβ& ・・・・・・\,\maru{ B} \\ \hline & \sin(α+β)+\sin(α-β)} & =} & 2\sinα\cosβ} \end{array}$} \\ ∴ \sinα\cosβ=12\{\sin(α+β)+\sin(α-β)\}$} \sinα\cosβ\ の公式を導きたい場合,\ それを含む加法定理の公式を利用する. \sin(α+β)\,と\,\sin(α-β)\ に\,\sinα\cosβ\,含まれるが,\ \cosα\sinβ\ が邪魔である. そこで,\ 2式の両辺を足して\,\cosα\sinβ\,を消去}すると,\ \sinα\cosβ\,の積→和公式が導かれる. \maru{ A}-\maru{ B}より \cosα\sinβ=12\{\sin(α+β)-\sin(α-β)\} \cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ ・・・・・・\,\maru{ C} \cos(α-β)=\cosα\cosβ+\sinα\sinβ ・・・・・・\,\maru{ D} \maru{ C}+\maru{ D}より \cosα\cosβ=12\{\cos(α+β)+\cos(α-β)\} \maru{ C}-\maru{ D}より \sinα\sinβ=-12\{\cos(α+β)-\cos(α-β)\} \end{array\right]$ \\  和→積の公式の導出  $積→和の公式で\ α+β=A,\ \ α-β=B\ とおく.$   $α+β=A,\ \ α-β=B}\ とおくと  α=A+B}{2},\ \ β=A-B}{2$   これを $\sin(α+β)+\sin(α-β)=2\sinα\cosβ\ に代入すると$ $\sin A+\sin B=2\sinA+B}{2}\cosA-B}{2}$} 積→和の公式は,\ 見方を変えればすでに和→積の公式}である. より扱いやすくするために,\ α+β=A,\ α-β=Bと文字を置換しただけ}である. \sin A+\sin Bの例を示したが,\ 他も同様である. 積→和,\ 和→積の公式を用いて,\ 次の値を求めよ.  (1)\ \ $\cos75°\sin45°$           (2)\ \ $\cos5}{12}π-\cos1}{12}π$ \\  (1)\ \ $\cos75°\sin45°=12\{\sin(75°+45°)-\sin(75°-45°)\$ $\cos75°\sin45°}=12(\sin120°-\sin30°)=12√3}{2}-12=√3-1}{4$  (2)\ \ $\cos5}{12}π-\cos1}{12}π=-\,2\sin5}{12}π+1}{12}π}{2}\sin5}{12}π-1}{12}π}{2$ $\cos5}{12}π-\cos1}{12}π}=-\,2\sinπ}{4}\sinπ}{6}=-\,2・√2}{2}・12=-√2}{2$ \\ $\left[l} (1)\ \ \cosα\sinβ=12\{\sin(α+β)-\sin(α-β)\} (2)\ \ \cos A-\cos B=-\,2\sinA+B}{2}\sinA-B}{2} 次の値を求めよ. $\cos40°+\cos80°+\cos160°$     (2)\ \ $\sin20°\sin40°\sin80°$ \\ 2つの角の和または差の三角関数の値が綺麗になる}ことに着目し,\ 和→積の公式を適用}する. どのように組み合わせても一方が綺麗な角になるが,\ 本問は別解の組合せが結果的に楽である. 差が負になるとややこしいので,\ \cos40°\,と\cos80°\,の順序を入れ替えてから和→積の公式を適用した.  \cos A+\cos B=2\cosA+B}{2}\cosA-B}{2} 後は,\ わかりにくい角は鋭角に直してみる}という基本に従うと,\ うまく相殺される. ちなみに,\ 本問をラジアンで表すと\,\cos29π+\cos49π+\cos89π\ である. 2つの角の和または差の三角関数が綺麗になる}ことに着目し,\ 積→和の公式を適用}する. どのように組み合わせても一方が綺麗な角になるが,\ 本問は別解の組合せが結果的に楽である. 2回積→和の公式を適用}すると,\ 2つの\,\sin\,の和に帰着する. 後は,\ わかりにくい角は鋭角に直してみる}という基本に従うと,\ うまく相殺される.  \sinα\sinβ=-12\{\cos(α+β)-\cos(α-β)\}  \sinα\cosβ=12\{\sin(α+β)+\sin(α-β)\}  \cosα\sinβ=12\{\sin(α+β)-\sin(α-β)\}