三角関数の積和・和積の公式の証明

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積→和の公式}} {\large \maru1 $\bm{\sin\alpha\cos\beta=\bunsuu12\{\textcolor{cyan}{\sin}(\alpha+\beta)\ \textcolor{red}{+}\ \textcolor{cyan}{\sin}(\alpha-\beta)\}}$} \\[1.5zh] {\large \maru2 $\bm{\cos\alpha\sin\beta=\bunsuu12\{\textcolor{cyan}{\sin}(\alpha+\beta)\ \textcolor{red}{-}\ \textcolor{cyan}{\sin}(\alpha-\beta)\}}$} \\[1.5zh] {\large \maru3 $\bm{\cos\alpha\cos\beta=\bunsuu12\{\textcolor{magenta}{\cos}(\alpha+\beta)\ \textcolor{red}{+}\ \textcolor{magenta}{\cos}(\alpha-\beta)\}}$} \\[1.5zh] {\large \maru4 $\bm{\sin\alpha\sin\beta=\textcolor{red}{-}\ \bunsuu12\{\textcolor{magenta}{\cos}(\alpha+\beta)\ \textcolor{red}{-}\ \textcolor{magenta}{\cos}(\alpha-\beta)\和→積の公式}} {\large \maru5 $\bm{\sin A+\sin B=2\ \textcolor{cyan}{\sin}\bunsuu{A+B}{2}\ \textcolor{magenta}{\cos}\bunsuu{A-B}{2}}$} \\[1.5zh] {\large \maru6 $\bm{\sin A-\sin B=2\ \textcolor{magenta}{\cos}\bunsuu{A+B}{2}\textcolor{cyan}{\sin}\bunsuu{A-B}{2}}$} \\[1.5zh] {\large \maru7 $\bm{\cos A+\cos B=2\ \textcolor{magenta}{\cos}\bunsuu{A+B}{2}\textcolor{magenta}{\cos}\bunsuu{A-B}{2}}$} \\[1.5zh] {\large \maru8 $\bm{\cos A-\cos B=\textcolor{red}{-}\ 2\ \textcolor{cyan}{\sin}\bunsuu{A+B}{2}\textcolor{cyan}{\sin}\bunsuu{A-B}{2}}$} \end{tabular}} 見た目の複雑さに加え,\ 学習上の位置づけも難しいという極めて厄介な公式群である. \\[1zh] 積→和は加法定理から容易に導けるため,\ 丸暗記の利点は少ない. \\[.2zh] 一方,\ 和→積を導こうとすると,\ 一旦積→和を経由する必要がある. \\[.2zh] しかも,\ 数\text{I\hspace{-.2zw}I}では積→和よりも和→積の利用のほうが多い. \\[.2zh] それゆえ,\ 和→積は丸暗記しておくことが推奨される. \\[.2zh] ちなみに,\ 数\text{I\hspace{-.2zw}I\hspace{-.2zw}I}では積→和の利用が多くなる. \\[1zh] 式が紛らわしく覚えにくいと感じるかもしれないが,\ 逆に\bm{違う部分さえ暗記すればよい}と考える. \\[.2zh] なお,\ 公式の導出自体が問われることもあるので注意してほしい. 積→和の公式の導出}}  \textbf{\textcolor{red}{加法定理の正負ペアの和または差を計算する.}} \\[1zh] \centerline{$\begin{array}{cccrclc} & \sin(\alpha+\beta)&=&\sin\alpha\cos\beta&+&\textcolor{red}{\teisei{\textcolor{black}{\cos\alpha\sin\beta}}} & \cdots\cdots\,\maru{\text A} \\ \textcolor{red}{+}) & \sin(\alpha-\beta)&=&\sin\alpha\cos\beta&-&\textcolor{red}{\teisei{\textcolor{black}{\cos\alpha\sin\beta}}}& \cdots\cdots\,\maru{\text B} \\ \hline & \textcolor{red}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)} & \textcolor{red}{=} & \textcolor{red}{2\sin\alpha\cos\beta} \end{array}$} \\\\[.5zh] \centerline{$\therefore \sin\alpha\cos\beta=\bunsuu12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}$} \\\\ \sin\alpha\cos\beta\ の公式を導きたい場合,\ それを含む加法定理の公式を利用する. \\[.2zh] \sin(\alpha+\beta)\,と\,\sin(\alpha-\beta)\ に\,\sin\alpha\cos\beta\,含まれるが,\ \cos\alpha\sin\beta\ が邪魔である. \\[.2zh] そこで,\ \bm{2式の両辺を足して\,\cos\alpha\sin\beta\,を消去}すると,\ \sin\alpha\cos\beta\,の積→和公式が導かれる. \\[1zh] \maru{\text A}-\maru{\text B}より \cos\alpha\sin\beta=\bunsuu12\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\} \\\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \cdots\cdots\,\maru{\text C} \\[.2zh] \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \cdots\cdots\,\maru{\text D} \\[1zh] \maru{\text C}+\maru{\text D}より \cos\alpha\cos\beta=\bunsuu12\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\} \\[1zh] \maru{\text C}-\maru{\text D}より \sin\alpha\sin\beta=-\bunsuu12\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\} \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  \textbf{\textcolor{blue}{和→積の公式の導出}}  $\bm{\textcolor{red}{積→和の公式で\ \alpha+\beta=A,\ \ \alpha-\beta=B\ とおく.}}$ \\[1zh]   $\textcolor{red}{\alpha+\beta=A,\ \ \alpha-\beta=B}\ とおくと  \textcolor{red}{\alpha=\bunsuu{A+B}{2},\ \ \beta=\bunsuu{A-B}{2}}$ \\[1zh]   これを $\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\ に代入すると$ \\[.5zh] \centerline{$\sin A+\sin B=2\sin\bunsuu{A+B}{2}\cos\bunsuu{A-B}{2}$} \bm{積→和の公式は,\ 見方を変えればすでに和→積の公式}である. \\[.2zh] より扱いやすくするために,\ \alpha+\beta=A,\ \alpha-\beta=Bと\bm{文字を置換しただけ}である. \\[.2zh] \sin A+\sin Bの例を示したが,\ 他も同様である. 積→和,\ 和→積の公式を用いて,\ 次の値を求めよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $\cos75\Deg\sin45\Deg$           (2)\ \ $\cos\bunsuu{5}{12}\pi-\cos\bunsuu{1}{12}\pi$ \\  (1)\ \ $\cos75\Deg\sin45\Deg=\textcolor{red}{\bunsuu12\{\sin(75\Deg+45\Deg)-\sin(75\Deg-45\Deg)\}}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\cos75\Deg\sin45\Deg}=\bunsuu12(\sin120\Deg-\sin30\Deg)=\bunsuu12\left(\bunsuu{\ruizyoukon3}{2}-\bunsuu12\right)=\bm{\bunsuu{\ruizyoukon3-1}{4}}$ \\\\\\  (2)\ \ $\cos\bunsuu{5}{12}\pi-\cos\bunsuu{1}{12}\pi=\textcolor{red}{-\,2\sin\bunsuu{\bunsuu{5}{12}\pi+\bunsuu{1}{12}\pi}{2}\sin\bunsuu{\bunsuu{5}{12}\pi-\bunsuu{1}{12}\pi}{2}}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{\cos\bunsuu{5}{12}\pi-\cos\bunsuu{1}{12}\pi}=-\,2\sin\bunsuu{\pi}{4}\sin\bunsuu{\pi}{6}=-\,2\cdot\bunsuu{\ruizyoukon2}{2}\cdot\bunsuu12=\bm{-\bunsuu{\ruizyoukon2}{2}}$ \\\\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} (1)\ \ \cos\alpha\sin\beta=\bunsuu12\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\} \\\\ (2)\ \ \cos A-\cos B=-\,2\sin\bunsuu{A+B}{2}\sin\bunsuu{A-B}{2} 次の値を求めよ. $\cos40\Deg+\cos80\Deg+\cos160\Deg$     (2)\ \ $\sin20\Deg\sin40\Deg\sin80\Deg$ \\ \bm{2つの角の和または差の三角関数の値が綺麗になる}ことに着目し,\ \bm{和→積の公式を適用}する. \\[.2zh] どのように組み合わせても一方が綺麗な角になるが,\ 本問は別解の組合せが結果的に楽である. \\[.2zh] 差が負になるとややこしいので,\ \cos40\Deg\,と\cos80\Deg\,の順序を入れ替えてから和→積の公式を適用した. \\[.2zh]  \cos A+\cos B=2\cos\bunsuu{A+B}{2}\cos\bunsuu{A-B}{2} \\[1zh] 後は,\ \bm{わかりにくい角は鋭角に直してみる}という基本に従うと,\ うまく相殺される. \\[1zh] ちなみに,\ 本問をラジアンで表すと\,\cos\bunsuu29\pi+\cos\bunsuu49\pi+\cos\bunsuu89\pi\ である. \bm{2つの角の和または差の三角関数が綺麗になる}ことに着目し,\ \bm{積→和の公式を適用}する. \\[.2zh] どのように組み合わせても一方が綺麗な角になるが,\ 本問は別解の組合せが結果的に楽である. \\[.2zh] \bm{2回積→和の公式を適用}すると,\ 2つの\,\sin\,の和に帰着する. \\[.2zh] 後は,\ \bm{わかりにくい角は鋭角に直してみる}という基本に従うと,\ うまく相殺される. \\[1zh]  \sin\alpha\sin\beta=-\bunsuu12\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\} \\[1.2zh]  \sin\alpha\cos\beta=\bunsuu12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\} \\[1.2zh]  \cos\alpha\sin\beta=\bunsuu12\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}
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