三角不等式の表す領域

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不等式\ \cos(x-y)\leqq\bunsuu12\ \ (0\leqq x\leqq\pi,\ 0\leqq y\leqq\pi)\ の表す領域を図示せよ三角不等式の表す領域  求める領域は,\ 上図の斜線部分.\ 境界線を含む.} 普通に三角不等式を解いて\bm{x,\ yのみの不等式に変換}すれば,\ 後は単なる領域図示の問題である. \\[.2zh] 2変数があることは気にせず,\ \cos\theta\leqq\bunsuu12\ と考えて解けばよい. \\[.8zh] ただし,\ \bm{角\,\theta=x-yのとりうる値の範囲の確認}が必要である. \\[.2zh] 1変数の\,\cos(x-\pi)の場合には範囲を確認する人でも,\ 2変数になると確認し忘れることが多い. \\[1zh] x-yの範囲を求めるとき,\ 0\leqq x\leqq\pi,\ 0\leqq y\leqq\pi\,の各辺を引いて0\leqq x-y\leqq 0とする\bm{誤り}が多い \\[.2zh] 一般に,\ 2つの不等式の各辺を単純に引いて合体させることはできない. \\[.2zh] x-yの最大値は,\ (xの最\dot{大})-(yの最\dot{大})ではなく,\ (xの最\dot{大})-(yの最\dot{小})だからである. \\[.2zh] 誤りを防ぐためには,\ \bm{x-y=x+(-\,y)と考えて和で合体させる}のがよい. \\[.2zh] 0\leqq y\leqq\pi\ の各辺に-1を掛けると 0\geqq-\,y\geqq-\,\pi \\[.2zh] これを-\pi\leqq -\,y\leqq0として,\ 0\leqq x\leqq\pi\ の各辺と足し合わせる. \\[1zh] 後は,\ \bm{角が-\pi\,から\,\pi\,までの範囲で,\ \cos が\,\bunsuu12\,以下になる範囲}を考えればよい. \\[.8zh] 角x-yの範囲が求まり,\ xy座標平面の領域図示の問題に帰着する. \\[.2zh] 境界線は直線なので,\ y=ax+bの形で表してから図示する. \\[.2zh] 領域を考えるとき,\ 問題の\bm{条件\ 0\leqq x\leqq\pi,\ 0\leqq y\leqq \pi\ の考慮を忘れてはいけない.} \\[.2zh] 最初から,\ \bm{図示すべき領域は1辺の長さが\,\pi\,の正方形の内部に限られていた}のである.
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