三角方程式の解の個数(置換型)

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aを定数,\ 0\leqq\theta\leqq\bunsuu76\pi\ とするとき,\ 方程式\ \cos^2\theta+\sin\theta+a=0\ の解の個数を求めよ.${三角方程式の解の個数(置換型)}}}} \\\\ とりあえず,\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\ を用いて\bm{関数を統一}し,\ 置換する. \\[.2zh] 文字を置換したときは,\ \bm{置換後の文字のとりうる値の範囲を確認する}必要がある. \\[.2zh] 単位円より,\ 0\leqq\theta\leqq\bunsuu76\pi\ のとき\,-\bunsuu12\leqq \sin\theta\leqq1\ である.  後は$1-t^2+t+a=0$の解の個数を求めればよさそうに思えるが,\ そう単純ではない. \\[.2zh]  \textbf{\textcolor{purple}{求めるべきは,\ $\bm{\theta}$\ の個数であり,\ $\bm{t}$の個数ではない}}からである. \\[.2zh]  厄介なのは,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{\theta}$\,の個数と$\bm{t}$の個数が1対1で対応しない}}点である. \\[.2zh]  まず $t$の個数を求め,\ その後$\theta$の個数に変換して答えることになる. \\\\\\   実際に$\bm{\textcolor{blue}{tと\ \theta\ の個数の対応}}を調べよう.\ 単位円を用いて考える.$ \\[.2zh]   $\sin\theta$は単位円周上の点の$y$座標なので,\ 縦軸が$t$の扱いになる. \textbf{\textcolor{red}{1個の$\bm{t}$の値に対応する$\bm{\theta}$の個数}}は以下のようになる. \\\\   $\sin\theta=\textcolor{blue}{t=-\bunsuu14}\ のとき 対応する\ \theta\ は約195\Deg\ の1個である.$ \\[.2zh]   同様に $\textcolor{blue}{t=\bunsuu12}\ のとき 対応する\ \theta\ は30\Deg\ と150\Deg\ の2個である.$ \\[.2zh]   さらに $\textcolor{blue}{t=1}\ \ \hspace{.2zw}のとき 対応する\ \theta\ は90\Deg\ の1個である.$ \\ 値に対応する\ \theta\ の個数}}が以下となることがわかる.$ \\[1zh]  以下のように,\ $y=\sin\theta$のグラフを用いて考えることもできる. \   この方程式の解の個数は,\ 次の2つのグラフの交点の個数と一致する. tと\,\theta\,の個数の対応がわかっていれば,\ tの個数を数えればよい. \\[.2zh] よって,\ \bm{tの2次方程式の解の個数問題}に帰着する. \\[.2zh] もしtに範囲がなければ,\ 2次方程式の解の個数なので判別式が正か0か負かを考えるだけである. \\[.2zh] しかし,\ 本問では\bm{-\bunsuu12\leqq t\leqq1\,の範囲にある解の個数}を数える必要がある. \\[.8zh] しかも,\ 解の値次第でtと\,\theta\,の個数の対応が変化する. \\[.2zh] 結局,\ 数式だけで考えるのは難しく,\ グラフを用いて図形的に考えることになる. \\[.2zh] \bm{定数aの分離が可能な型}なので,\ \bm{実数解の個数はグラフの共有点としてとらえられる.} \\[1zh] 上の図では,\ 次のように色分けしてわかりやすくしている. \\[.5zh] y=aを動かしながら\bm{tの個数を数えるのと同時に\,\theta\,の個数に変換}し,\ 場合分けをして答える.
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