三角関数の最大・最小②(合成)

composition-maxmin
角が等しい1次のsin とcos の和は,\ {合成して変数を1ヶ所に集める.$  $結局,\ {sin の最大・最小問題に帰着する.$ 合成後,\ {内側(括弧内)から順番に範囲を確認していく.} まず,\ 角\ θ-{π}{4}\ の範囲を確認する. 次に,\ この範囲の元で,\ {sin のとりうる値の範囲を図形的に考える.} sin は図形的にはy座標である. 角が-{π}{4}\ から34π\ まで変化するとき,\ y座標は\ -{1}{2}\ から1まで変化する. さらに,\ 各辺に2を掛けるとyの範囲が求まる. 最大・最小をとるときの\ θ\ は,\ 要求されない限り答える必要はない. ここでは,\ 練習のため\ θ\ も求めておく. sin(θ-{π}{4})=1\ のとき最大,sin(θ-{π}{4})=-{1}{2}\ のとき最小をとる. このときの\ θ\ も,\ 単位円から図形的に読み取れる. 余角の公式}] $ {θ={π}{2}\ のとき 最小値1}$} 本問は,\ 三角関数の合成において,\ {角が有名角にならない場合}である. この場合,\ {角を\ α\ とおいて,\ cosα,\ sinα}\ の値を併記する. 角\ α\ が変数であると誤解する人が少なくない. {α\ は,\ cosα={1}{√5},sinα={2}{√5}\ を満たすような定数(定角)である. よって,\ 単位円に\ α\ をとるとき,\ ほぼ正確な位置にとることができる. α\ の実際の角は,\ cosα,\ sinα\ の値から予想する. {α\ は第1象限の角}である. 以上を踏まえた上で,\ sin(θ+α)\ の最大値・最小値を求める. まず,\ {角\ θ+α\ の範囲}を求め,\ 単位円上に図示する. このとき,\ α\ を\ {π}{3}\ と\ {π}{2}\ の間にとらなければならない. 次に,\ sin(θ+α)\ が取りうる値の範囲を読み取る. 最大値1は一目瞭然であり,\ 最大値を求めるだけならこれで完了である. しかし,\ 最大値をとるときの\ sinθ,\ cosθ\ の値も要求されることがある. 実は,\ θ\ の値が求まらなくても,\ {sinθ,\ cosθ\ の値は求まる.} このとき,\ {cosα,\ sinα\ の値や三角関数の各公式を用いる}ことになる. 既知 {余角の公式}を用いると,\ 結局\ sinθ=cosα\ となり,\ 値が求まる.\ cosθ\ も同様. θ={π}{2}\ のとき最小をとることはすぐにわかるが,\ 今度は最小値がわからない. ここでも,\ 公式で変形すると,\ cosα\ の値として求まる. θ={π}{2}\ を元の式に代入し,\ としてもよい.
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