三角方程式・不等式③(2倍角・3倍角・半角の公式による角の統一)

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2倍角・3倍角・半角の公式で,\ 角の統一を行う.  すると,\ 基本的な方程式・不等式に帰着する. cos2θは,\ 次の3通りに変形できる. cos2θ=cos²θ-sin²θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ この中で,\ {角と同時に関数も統一できるsin のみの式を用いる}ことになる. 2倍角の公式を適用すると,\型の不等式に帰着する. であれば,\ 直ちにとできるのは大丈夫だろう. しかし,\ のように文字が異なる場合,\ 単純にはいかない. この場合,\ {同値変形の根本に立ち戻って解く}必要がある. 後は,\ 単位円を描いて,\ これを満たす範囲を求める. 4つの不等式を別々に解いてからまとめるのではなく,\ 最初から一気に考える. つまり { y軸の右側 y=12\ の上側 -または\ y軸の左側 y=12\ の下側 } 結局,\ 図のような範囲になるわけである. に統一するのは無理がある. cos²{θ}{2}={1+cosθ}{2}\ のように,\ 半角の公式には2乗がつくからである. そこで,\ {θ\ を\ {θ}{2}\ に統一}する. つまり,\ cosθ={cos2{θ}{2}\ と考えて,\ 2倍角の公式を適用}する. cos{θ}{2}\ の2次方程式となるから,\ 因数分解する. 常に\ -1cos{θ}{2}1\ より,\ 常に\ cos{θ}{2}-\ である. よって,\ cos{θ}{2}-2=0\ となる可能性はなく,\ 2cos{θ}{2}-1=0\ のみとなる. cos{θ}{2}=2\ とした後に不適としてもよい. 角が単純な\ θ\ ではないから,\ {角\ {θ}{2}\ の範囲を確認し,\ その範囲内で求める.} 2倍角の公式で角を統一する.\ その後,\ 因数分解できることに気付きたい. 2項ずつ組み合わせると,\ 共通因数が見えてくる. 2sinθ(2cosθ+1)-(2cosθ+1)=0 一般に,\ {AB+A+B+1=(A+1)(B+1)}\ のように因数分解できる. この知識を持っておくことで,\ 因数分解できることに気付きやすくなる.
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