本項の内容は上級者用で、数B：数列が学習済みであることを前提としています。
cos$の2倍角,\ 3倍角の公式が\ $\cos2θ=2\cos^2θ-1,\ \ \cos3θ=4\cos^3θ-3\cosθ$\ であった.
$\cos 2θ$は$\cosθ$の2次式,\ $\cos3θ$は$\cosθ$の3次式として表されている.
実は,\ 一般に\\cos nθ}$を$\cosθ}$の$n}$次式で表すことができる.
つまり,\ $n}$次多項式$T_n(x)}$を用いて,\ $\cos nθ=T_n(\cosθ)$と表せる.
$T_n(x)$を第1種チェビシェフの多項式という.\ 具体例で理解するとよいだろう. \
\cos1θ=\cosθ & → & T_1(x)=x
\cos2θ=2\cos^2θ-1 & → & T_2(x)=2x^2-1
\cos3θ=4\cos^3θ-3\cosθ & → & T_3(x)=4x^3-3x
\cos4θ=8\cos^4θ-8\cos^2θ+1 & → & T_4(x)=8x^4-8x^2+1
\cos5θ=16\cos^5θ-20\cos^3θ+5\cosθ & → & T_5(x)=16x^5-20x^3+5x \\
$\sin$の2倍角,\ 3倍角の公式は,\ $\sin2θ=2\sinθ\cosθ,\ \sin3θ=-\,4\sin^3θ+3\sinθ$であった.
残念ながら,\ $\sin nθ$を$\sinθ$の$n$次式として表すことはできなさそうである.
ここで,\ $\sin3θ=(-\,4\sin^2θ+3)\sinθ=(4\cos^2θ-1)\sinθ$であることに着目する.
実は,\ $n-1}$次多項式$U_n(x)}$を用いて$\sin nθ=U_n(\cosθ)\sinθ$と表すことならばできる.
$U_n(x)$を第2種チェビシェフの多項式という.\ 以下に具体例を示す.
\sin1θ=1･\sinθ & → & U_1(x)=1
\sin2θ=(2\cosθ)\sinθ & → & U_2(x)=2x
\sin3θ=(4\cos^2θ-1)\sinθ & → & U_3(x)=4x^2-1
\sin4θ=(8\cos^3θ-4\cosθ)\sinθ & → & U_4(x)=8x^3-4x
\sin5θ=(16\cos^4θ-12\cos^2θ+1)\sinθ & → & U_5(x)=16x^4-12x^2+1
難関大学入試では,\ このチェビシェフの多項式を背景にもつ問題が頻出である.
一度は経験しておかなければ,\ 初見で対応するのは困難である.
$n$を自然数とする.
(1)\ \ 整数係数$n$次多項式$T_n(x)$を用いて$\cos nθ=T_n(\cosθ)$と表されることを示せ.
(2)\ \ 整数係数$n-1$次多項式$U_n(x)$を用いて$\sin nθ=U_n(\cosθ)\sinθ$と表されること
\ \ を示せ.
(3)\ \ $T_n(x),\ U_n(x)$の最高次の係数が$2^{n-1}$であることを示せ.
(4)\ \ $T_n(x)$が一意に表されることを示せ.
(5)\ \ $T_n(x)$は$n$が奇数のとき奇関数,\ $n$が偶数のとき偶関数であることを示せ.
(6)\ \ $T_n(x)$の定数項を求めよ.
(7)\ \ $T’_n(x)=nU_n(x)$が成り立つことを示せ(数
(1)\ \ 「整数係数$n$次多項式$T_n(x)$を用いて$\cos nθ=T_n(\cosθ)$と表せる」$･･･$\maru{ A}を示す.
[1]\ \ $n=1,\ 2$のとき $T_1(x)=x,\ \ T_2(x)=2x^2-1$\ とすると\maru{ A}が成り立つ.
[2]\ \ $n=k,\ k+1$のとき
$\cos kθ=T_k(\cosθ),\ \ \cos(k+1)θ=T_{k+1}(\cosθ)$\ と表されると仮定する.
\ \ $n=k+2$のとき
$\cos(k+2)θ=2\cos(k+1)θ\cosθ-\cos kθ}=2T_{k+1}(\cosθ)\cosθ-T_{k}(\cosθ)}$
\ \ $T_{k+1}(x),\ T_k(x)$は,\ それぞれ整数係数の$k+1$次多項式,\ $k$次多項式である.
\ \ よって,\ $T_{k+2}(x)=2xT_{k+1}(x)-T_k(x)}$とすると,\ $n=k+2$のときも\maru{ A}が成り立つ.
∴ [1],\ [2]\,$より,\ すべての自然数$n$に対して\maru{ A}が成り立つ.
自然数nの命題なので数学的帰納法が有効である.
ただし,\ n=k,\ k+1を仮定してn=k+2のときを示す型の数学的帰納法}を用いることになる.
さらに,\ 和→積の公式により導かれる\ \cos(k+2)θ+\cos kθ=2\cos(k+1)θ\cosθ}\ を利用する.
実質的には,\ T_n(x)を定める漸化式T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x)を導く}ことが肝になる.
T_{k+1}(x)がk+1次式なので2xT_{k+1}はk+2次式である.\ k次式T_k(x)は最高次数に影響しない.
よって,\ 2xT_{k+1}(x)-T_k(x)をk+2次式T_{k+2}(x)とおけるわけである.
また,\ T_{k+1}(x)もT_k(x)も整数係数なので,\ 漸化式よりT_{k+2}(x)も整数係数である.
漸化式により,\ T_n(x)を順次求めていくことが可能になる.
例えば,\ T_4(x)=2xT_3(x)-T_2(x)=2x(4x^3-3x)-(2x^2-1)=8x^4-8x^2+1\ となる.
「整数係数$n-1$次多項式$U_n(x)$を用いて$\sin nθ=U_n(\cosθ)\sinθ$と表せる」$･･･$\maru{ B}を示す.}
[1]\ \ $n=1,\ 2$のとき $U_1(x)=1,\ \ U_2(x)=2x$\ とすると\maru{ B}が成り立つ.
[2]\ \ $n=k,\ k+1$のとき
$\sin kθ=U_k(\cosθ)\sinθ,\ \sin(k+1)θ=U_{k+1}(\cosθ)\sinθ$と表されると仮定する.}
\ \ $n=k+2$のとき
$\sin(k+2)θ=2\sin(k+1)θ\cosθ-\sin kθ}$
$\sin(k+2)θ}=2U_{k+1}(\cosθ)\sinθ\cosθ-U_k(\cosθ)\sinθ$
$\sin(k+2)θ}=\{2U_{k+1}(\cosθ)\cosθ-U_k(\cosθ)}\}\sinθ$
\ \ $U_{k+1}(x),\ U_k(x)$は,\ それぞれ整数係数の$k$次多項式,\ $k-1$次多項式である.
\ \ よって,\ $U_{k+2}(x)=2xU_{k+1}(x)-U_k(x)}$とすると,\ $n=k+2$のときも\maru{ B}が成り立つ.}
∴ [1],\ [2]\,$より,\ すべての自然数$n$に対して\maru{ B}が成り立つ.
和→積の公式により導かれる\ \sin(k+2)θ+\sin kθ=2\sin(k+1)θ\cosθ}\ を利用する.
実質的には,\ U_n(x)を定める漸化式U_{n+2}(x)=2xU_{n+1}(x)-U_n(x)を導く}ことが肝になる.
結局はT_n(x)の漸化式と同じ形になることも確認してほしい.
U_{k+1}(x)がk次式なので2xU_{k+1}(x)はk+1次式である.\ k-1次式U_k(x)は最高次数に影響しない.
よって,\ 2xU_{k+1}(x)-U_k(x)をk+1次式U_{k+2}(x)とおけるわけである.
また,\ U_{k+1}(x)もU_k(x)も整数係数なので,\ 漸化式よりU_{k+2}(x)も整数係数である.
{T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)\ (n≧2)}$
(3)}\ \ よって,\ $T_{n+1}(x)$の最高次の係数は$T_{n}(x)$の最高次の係数の2倍}である.
(3)}\ \ $T_1(x)=x$より,\ $T_{n}(x)の最高次の係数は2^{n-1$である.
(3)}\ \ (2)より $U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)\ (n≧2)}$
(3)}\ \ よって,\ $U_{n+1}(x)$の最高次の係数は$U_{n}(x)$の最高次の係数の2倍}である.
(3)}\ \ $U_1(x)=1$より,\ $U_{n}(x)の最高次の係数は2^{n-1$である.
もちろん数学的帰納法で示してもよいが,\ 漸化式からほぼ明らかなので簡潔に記述した.
最高次の係数は等比数列1,\ 2,\ 4,\ 8,\ ･･･\,をなすから,\ nのとき2^{n-1}\,である.
[\,(1),\ (2),\ (3)をまとめて証明\,]
\maru{ A}\ 「最高次の係数$2^{n-1}$の整数係数$n$次式$T_n(x)$を用いて$\cos nθ=T_n(\cosθ)$と表せる」}
\maru{ B}\ 「最高次の係数$2^{n-1}$の整数係数$n-1$次式$U_n(x)$を用いて$\sin nθ=U_n(\cosθ)\sinθ$と表せる」}
[1]\ \ $n=1$のとき $T_1(x)=x,\ U_1(x)=1$より,\ \maru{ A},\ \maru{ B}は成り立つ.
[2]\ \ $n=k$のとき \maru{ A},\ \maru{ B}が成り立つと仮定する.
\ \ $n=k+1$のとき
\ \ $ \cos(k+1)θ=\cos(kθ+θ)=\cos kθ\cosθ-\sin kθ\sinθ}$
\ \ $ \cos(k+1)θ}=T_k(\cosθ)\cosθ-U_k(\cosθ)\sin^2θ$
\ \ $ \cos(k+1)θ}=T_k(\cosθ)\cosθ-U_k(\cosθ)(1-\cos^2θ)$
\ \ $ \cos(k+1)θ}=\{T_k(\cosθ)\cosθ+U_k(\cosθ)\cos^2θ}\}-U_k(\cosθ)$
\ \ $T_k(x)$は整数係数$k$次式,\ $U_k(x)$は整数係数$k-1$次式である.
\ \ このとき,\ $\{T_k(x)x+U_k(x)x^2\}-U_k(x)$は整数係数$k+1$次式である.
\ \ また,\ 最高次$x^{k+1}$の係数は$2^{k-1}+2^{k-1}=2･2^{k-1}=2^k$である.
\ \ $\{T_k(x)x+U_k(x)x^2\}-U_k(x)=T_{k+1}(x)}$とおけ,\ $n=k+1$のときも\maru{ A}が成り立つ.
\ \ $ \sin(k+1)θ=\sin(kθ+θ)=\sin kθ\cosθ+\cos kθ\sinθ}$
\ \ $ \sin(k+1)θ}=U_k(\cosθ)\sinθ\cosθ+T_k(\cosθ)\sinθ$
\ \ $ \sin(k+1)θ}=\{U_k(\cosθ)\cosθ+T_k(\cosθ)}\}\sinθ$
\ \ $U_k(x)$は整数係数$k-1$次式,\ $T_k(x)$は整数係数$k$次式である.
\ \ このとき,\ $\{U_k(x)x+T_k(x)\}+T_k(x)$は整数係数$k$次式である.
\ \ また,\ 最高次$x^k$の係数は$2^{k-1}+2^{k-1}=2･2^{k-1}=2^k$である.
\ \ $\{U_k(x)x+T_k(x)\}+T_k(x)=U_{k+1}(x)}$とおけ,\ $n=k+1$のときも\maru{ B}が成り立つ.
∴ [1],\ [2]\,$より,\ すべての自然数$n$に対して\maru{ A},\ \maru{ B}が成り立つ.
実は,\ 通常の数学的帰納法}を用いて(1)～(3)を一気に証明することができる.
また,\ 加法定理を用いる}だけなので式変形も本解より自然だが,\ 以下の点に注意が必要である.
T_k(x)xはk+1次式,\ U_k(x)x^2\,もk+1次式である.
しかし,\ これより直ちにT_k(x)x+U_k(x)x^2\,もk+1次式になるとはいえない.}
一般に,\ (k+1次式)+(k+1次式)=(k+1次式)とは限らないからである.
例えば,\ (x^2+2x)+(-\,x^2+x)=3x\ (1次式)である.
もしT_k(x)とU_k(x)の最高次の係数が正ならば,\ このように最高次の項が消える可能性はなくなる.
そこで,\ 最高次の係数が2^{n-1}\,(正)という条件も含めて証明した.}
無意味に(1)～(3)をまとめたわけではなく,\ まとめて考えなければ証明できない}のである.
(4)\ \ $T_n(x)$以外に$\cos nθ=S_n(\cosθ)$となる多項式$S_n(x)$があるとする.
(4)}\ \ このとき,\ すべての実数$θ$に対して$T_n(\cosθ)=S_n(\cosθ)$が成立する.
(4)}\ \ つまり,\ $-\,1≦ x≦1$を満たすすべての$x$に対して$T_n(x)=S_n(x)$が成立する.
(4)}\ \ $T_n(x),\ S_n(x)$は$n$次式であるから,\ $T_n(x)=S_n(x)$は恒等式}である.
(4)}\ \ よって,\ $T_n(x)}$は一意に表される
(1),\ (2)では,\ T_n(x),\ U_n(x)が存在することを証明した.
(4)は,\ その表現がただ1通りであることの証明である.
一意性の証明は,\ 文字で2通りの表現を設定してそれらが一致することを示す}とよいことが多い.
\cos nθ=T_n(\cosθ)より,\ T_n(\cosθ)=S_n(\cosθ)とできるが,\ 重要なのはこの後である.
T_n(\cosθ)=S_n(\cosθ)だからといって,\ 直ちにT_n(x)=S_n(x)とすることはできない.
常に-1≦\cosθ≦1より,\ -\,1≦ x≦1の範囲のxに限りT_n(x)=S_n(x)が成り立つ}のである.
-1≦ x≦1以外の範囲でもT_n(x)=S_n(x)となることを示すため,\ 整式の一致の定理}を利用する.
\ 「n次式f(x)=g(x)が恒等式\ ⇔\ 異なるn+1個のxの値に対して成立する}」(式と証明)
-\,1≦ x≦1を満たす実数xは無限個あり,\ そのすべてのxに対してT_n(x)=S_n(x)が成立する.
異なるn+1個のxの値に対して成立することになるから,\ T_n(x)=S_n(x)が恒等式といえる.
恒等式ということは,\ すべての実数xに対して成り立つということである.
(5)\ \ $T_n(-\,x)=(-\,1)^nT_n(x)}$を証明する.
(4)}\ \ $-\,1≦ x≦1$のとき
$T_n(-\,x)}=T_n(-\,\cosθ)=T_n(\cos(π-θ))=\cos n(π-θ)$
$T_n(-\,x)}=\cos(nπ-nθ)=(-\,1)^n\cos nθ=(-\,1)^nT_n(x)}$
(4)}\ \ $T_n(x)$は$n$次式であるから,\ $T_n(-\,x)=(-\,1)^nT_n(x)$は恒等式}である.
(4)}\ \ よって,\ すべての実数$x$に対して$T_n(-\,x)=(-\,1)^nT_n(x)}$である. \\
$T_n(-\,x)=(-\,1)^nT_n(x)}\ ･･･\,\maru{ A}$を数学的帰納法で証明する.
(4)}\ \ [1]\ \ $n=1,\ 2$のとき $T_1(x)=x$,\ \ $T_2(x)=2x^2-1$より,\ \maru{ A}が成り立つ.
(4)}\ \ [2]\ \ $n=k,\ k+1$のとき
$T_k(-\,x)=(-\,1)^kT_k(x),\ \ T_{k+1}(-\,x)=(-\,1)^{k+1}T_{k+1}(x)$が成り立つと仮定する.
$T_{k+2}(x)=2xT_{k+1}(x)-T_k(x)}$\ より
$T_{k+2}(-\,x)}=2(-\,x)T_{k+1}(-\,x)-T_k(-\,x)$
$T_{k+2}(-\,x)}=-\,2x(-\,1)^{k+1}T_{k+1}(x)-(-\,1)^kT_k(x)$
$T_{k+2}(-\,x)}=(-\,1)^{k+2}\{2xT_{k+1}(x)-T_k(x)\}=(-\,1)^{k+2}T_{k+2}(x)}$
よって,\ $n=k+2$のときも\maru{ A}が成り立つ.
(4)}\ \ ∴$ [1],\ [2]\,より,\ すべての自然数$n$について\maru{ A}が成り立つ.
f(-\,x)=-\,f(x)のとき & f(x)は奇関数(原点対称)
f(-\,x)=f(x)のとき & f(x)は偶関数(y軸対称)
} [0zh]
nが奇数のときT_n(-\,x)=-\,T_n(x),\ nが偶数のときT_n(-\,x)=T_n(x)を示せばよい.
場合分けして証明してもよいが,\ 実はまとめて証明すると簡潔に済む.
要は,\ T_n(-\,x)=(-\,1)^nT_n(x)}を示せばよいというわけである.
本解は,\ xを一旦\cosθ\,に置き換える}ものである.\ -1≦ x≦1のとき,\ x=\cosθ\,とおける.
補角の公式\cos(π-θ)=-\,\cosθ\,を逆に用いた後,\ T_n(\cosθ)=\cos nθ\,を適用する.
\cos(nπ-nθ)は,\ nが奇数のとき-\cos nθ,\ nが偶数のとき\cos nθ}\,となる.
\rei\ \ \cos(3π-3θ)=\cos\{2π+(π-3θ)\}=\cos(π-3θ)=-\,\cos3θ (\,\because\ 補角の公式)
\rei\ \ \cos(4π-4θ)=\cos(-\,4θ)=\cos4θ (\,\because\ 負角の公式)
よって,\ nが奇数の場合と偶数の場合をまとめて(-\,1)^n\cos nθ\,とできる.
整式の一致の定理}により,\ すべての実数xに対しても成り立つことが示される.
別解は,\ 漸化式と数学的帰納法}によるものである.
T_{k+2}(-\,x)=(-\,1)^{k+2}T_{k+2}(x)}という最終目標を意識して式変形する必要がある. \\
(6)\ \ $T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x)$}より,\ $T_{n+2}(x)$の定数項は$T_n(x)$の定数項の$-\,1$倍になる.
(4)}\ \ $T_1(x)=x,\ T_2(x)=2x^2-1$より,\ $T_1(x),\ T_2(x)$の定数項はそれぞれ $0,\ -\,1$
(4)}\ \ よって,\ $T_n(x)$の定数項は $nが奇数のとき0,\ \ nが偶数のとき(-\,1)^{ n2
2xT_{n+1}(x)は定数項に影響しないから,\ 漸化式からほぼ明らかである.
T_1(x)の定数項が0なので,\ T_3(x),\ T_5(x),\ ･･･\,の定数項は0である.
T_2(x)の定数項が-1なので,\ T_4(x),\ T_6(x),\ ･･･\,の定数項は1,\ -\,1,\ ･･･\ である.
{$T_n(\cosθ)=\cos nθ$の両辺を$θ$で微分}すると $T’_n(\cosθ)(-\,\sinθ)=-\,n\sin nθ$
(4)}\ \ $\sin nθ=U_n(\cosθ)\sinθ$より $T_n'(\cosθ)\sinθ=nU_n(\cosθ)\sinθ$ $T’_n(x)=nU_n(x)$
(4)}\ \ $T’_n(x),\ U_n(x)$は$n-1$次式なので,\ $T’_n(x)=nU_n(x)$は恒等式}である.
(4)}\ \ よって,\ すべての実数$x$に対して$T’_n(x)=nU_n(x)}$である. \\
%全係数の和が1 $T_n(1)=1$ \\
%$T_n$の1次の項は $n$が偶数のとき0,\ $n$が奇数のとき$(-1)^{n-1}{2･ n$ \\
%$T_n$の2次の項は $n$が偶数のとき$(-1)^{ n2-1}･n^2}{2}$,$n$が奇数のとき0
左辺は合成関数の微分の扱いになる. \{T_n(\cosθ)\}’=T’_n(\cosθ)(\cosθ)’
限定すると\sinθ≠0より,\ 両辺を\sinθ\,で割ることができる.
あるが,\ 整式の一致の定理}より結局全ての実数xに対して成り立つ.
