チェビシェフの多項式① 存在性と一意性、関連性質 cosnθ=Tn(cosθ)

スポンサーリンク

本項の内容は上級者用で、数B:数列が学習済みであることを前提としています。

complex-number-equality
cos$の2倍角,\ 3倍角の公式が\ $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1,\ \ \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$\ であった. \\[.2zh]  $\cos 2\theta$は$\cos\theta$の2次式,\ $\cos3\theta$は$\cos\theta$の3次式として表されている. \\[.5zh]  実は,\ 一般に\\bm{\cos n\theta}$を$\bm{\cos\theta}$の$\bm{n}$次式で表すことができる.}} \\[.2zh]  つまり,\ \textbf{\textcolor{forestgreen}{$\bm{n}$次多項式$\bm{T_n(x)}$}}を用いて,\ $\bm{\textcolor{red}{\cos n\theta=T_n(\cos\theta)}}$と表せる. \\[.2zh]  $\bm{\textcolor{blue}{T_n(x)}}$を\textbf{\textcolor{blue}{第1種チェビシェフの多項式}}という.\ 具体例で理解するとよいだろう. \ \cos1\theta=\cos\theta & → &  T_1(x)=x \\[.2zh] \cos2\theta=2\cos^2\theta-1 & → &  T_2(x)=2x^2-1 \\[.2zh] \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta & → &  T_3(x)=4x^3-3x \\[.2zh] \cos4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1 & → &  T_4(x)=8x^4-8x^2+1 \\[.2zh] \cos5\theta=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta  & → &  T_5(x)=16x^5-20x^3+5x \\  $\sin$の2倍角,\ 3倍角の公式は,\ $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta,\ \sin3\theta=-\,4\sin^3\theta+3\sin\theta$であった. \\[.2zh]  残念ながら,\ $\sin n\theta$を$\sin\theta$の$n$次式として表すことはできなさそうである. \\[.2zh]  ここで,\ $\sin3\theta=(-\,4\sin^2\theta+3)\sin\theta=(4\cos^2\theta-1)\sin\theta$であることに着目する. \\[.2zh]  実は,\ \textbf{\textcolor{forestgreen}{$\bm{n-1}$次多項式$\bm{U_n(x)}$}}を用いて$\bm{\textcolor{red}{\sin n\theta=U_n(\cos\theta)\sin\theta}}$と表すことならばできる. \\[.2zh]  $\bm{\textcolor{blue}{U_n(x)}}$を\textbf{\textcolor{blue}{第2種チェビシェフの多項式}}という.\ 以下に具体例を示す. \sin1\theta=1\cdot\sin\theta & → &  U_1(x)=1 \\[.2zh] \sin2\theta=(2\cos\theta)\sin\theta & → &  U_2(x)=2x \\[.2zh] \sin3\theta=(4\cos^2\theta-1)\sin\theta & → &  U_3(x)=4x^2-1 \\[.2zh] \sin4\theta=(8\cos^3\theta-4\cos\theta)\sin\theta & → &  U_4(x)=8x^3-4x \\[.2zh] \sin5\theta=(16\cos^4\theta-12\cos^2\theta+1)\sin\theta  & → &  U_5(x)=16x^4-12x^2+1  難関大学入試では,\ このチェビシェフの多項式を背景にもつ問題が頻出である. \\[.2zh]  一度は経験しておかなければ,\ 初見で対応するのは困難である. \\\\\\ $n$を自然数とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 整数係数$n$次多項式$T_n(x)$を用いて$\cos n\theta=T_n(\cos\theta)$と表されることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 整数係数$n-1$次多項式$U_n(x)$を用いて$\sin n\theta=U_n(\cos\theta)\sin\theta$と表されること \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ を示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $T_n(x),\ U_n(x)$の最高次の係数が$2^{n-1}$であることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ $T_n(x)$が一意に表されることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(5)\ \ $T_n(x)$は$n$が奇数のとき奇関数,\ $n$が偶数のとき偶関数であることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(6)\ \ $T_n(x)$の定数項を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(7)\ \ $T’_n(x)=nU_n(x)$が成り立つことを示せ(数  (1)\ \ 「整数係数$n$次多項式$T_n(x)$を用いて$\cos n\theta=T_n(\cos\theta)$と表せる」$\cdots$\maru{\text A}を示す. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ [1]\ \ $n=1,\ 2$のとき  $T_1(x)=x,\ \ T_2(x)=2x^2-1$\ とすると\maru{\text A}が成り立つ. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ [2]\ \ $n=k,\ k+1$のとき \\[.5zh]       $\cos k\theta=T_k(\cos\theta),\ \ \cos(k+1)\theta=T_{k+1}(\cos\theta)$\ と表されると仮定する. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ $n=k+2$のとき \\[.5zh]       $\textcolor{forestgreen}{\cos(k+2)\theta=2\cos(k+1)\theta\cos\theta-\cos k\theta}=\textcolor{red}{2T_{k+1}(\cos\theta)\cos\theta-T_{k}(\cos\theta)}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ $T_{k+1}(x),\ T_k(x)$は,\ それぞれ整数係数の$k+1$次多項式,\ $k$次多項式である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ よって,\ $\textcolor{red}{T_{k+2}(x)=2xT_{k+1}(x)-T_k(x)}$とすると,\ $n=k+2$のときも\maru{\text A}が成り立つ. \\\\ \phantom{ (1)}\ \ $\therefore [1],\ [2]\,$より,\ すべての自然数$n$に対して\maru{\text A}が成り立つ. 自然数nの命題なので数学的帰納法が有効である. \\[.2zh] ただし,\ \bm{n=k,\ k+1を仮定してn=k+2のときを示す型の数学的帰納法}を用いることになる. \\[.2zh] さらに,\ 和→積の公式により導かれる\ \bm{\cos(k+2)\theta+\cos k\theta=2\cos(k+1)\theta\cos\theta}\ を利用する. \\[.2zh] 実質的には,\ \bm{T_n(x)を定める漸化式T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x)を導く}ことが肝になる. \\[.2zh] T_{k+1}(x)がk+1次式なので2xT_{k+1}はk+2次式である.\ k次式T_k(x)は最高次数に影響しない. \\[.2zh] よって,\ 2xT_{k+1}(x)-T_k(x)をk+2次式T_{k+2}(x)とおけるわけである. \\[.2zh] また,\ T_{k+1}(x)もT_k(x)も整数係数なので,\ 漸化式よりT_{k+2}(x)も整数係数である. \\[1zh] 漸化式により,\ T_n(x)を順次求めていくことが可能になる. \\[.2zh] 例えば,\ T_4(x)=2xT_3(x)-T_2(x)=2x(4x^3-3x)-(2x^2-1)=8x^4-8x^2+1\ となる. 「整数係数$n-1$次多項式$U_n(x)$を用いて$\sin n\theta=U_n(\cos\theta)\sin\theta$と表せる」$\cdots$\maru{\text B}を示す.} \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ [1]\ \ $n=1,\ 2$のとき  $U_1(x)=1,\ \ U_2(x)=2x$\ とすると\maru{\text B}が成り立つ. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ [2]\ \ $n=k,\ k+1$のとき \\[.5zh]       \scalebox{.98}[1]{$\sin k\theta=U_k(\cos\theta)\sin\theta,\ \sin(k+1)\theta=U_{k+1}(\cos\theta)\sin\theta$と表されると仮定する.} \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ $n=k+2$のとき \\[.5zh]       $\textcolor{forestgreen}{\sin(k+2)\theta=2\sin(k+1)\theta\cos\theta-\sin k\theta}$ \\[.2zh]       $\phantom{\sin(k+2)\theta}=2U_{k+1}(\cos\theta)\sin\theta\cos\theta-U_k(\cos\theta)\sin\theta$ \\[.2zh]       $\phantom{\sin(k+2)\theta}=\{\textcolor{red}{2U_{k+1}(\cos\theta)\cos\theta-U_k(\cos\theta)}\}\sin\theta$ \\\\ \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ $U_{k+1}(x),\ U_k(x)$は,\ それぞれ整数係数の$k$次多項式,\ $k-1$次多項式である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \phantom{[1]}\ \ \scalebox{.98}[1]{よって,\ $\textcolor{red}{U_{k+2}(x)=2xU_{k+1}(x)-U_k(x)}$とすると,\ $n=k+2$のときも\maru{\text B}が成り立つ.} \\\\ \phantom{ (1)}\ \ $\therefore [1],\ [2]\,$より,\ すべての自然数$n$に対して\maru{\text B}が成り立つ. 和→積の公式により導かれる\ \bm{\sin(k+2)\theta+\sin k\theta=2\sin(k+1)\theta\cos\theta}\ を利用する. \\[.2zh] 実質的には,\ \bm{U_n(x)を定める漸化式U_{n+2}(x)=2xU_{n+1}(x)-U_n(x)を導く}ことが肝になる. \\[.2zh] 結局はT_n(x)の漸化式と同じ形になることも確認してほしい. \\[.2zh] U_{k+1}(x)がk次式なので2xU_{k+1}(x)はk+1次式である.\ k-1次式U_k(x)は最高次数に影響しない. \\[.2zh] よって,\ 2xU_{k+1}(x)-U_k(x)をk+1次式U_{k+2}(x)とおけるわけである. \\[.2zh] また,\ U_{k+1}(x)もU_k(x)も整数係数なので,\ 漸化式よりU_{k+2}(x)も整数係数である. {T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)\ (n\geqq2)}$ \\[.2zh] \phantom{ (3)}\ \ よって,\ \textcolor{red}{$T_{n+1}(x)$の最高次の係数は$T_{n}(x)$の最高次の係数の2倍}である. \\[.2zh] \phantom{ (3)}\ \ $T_1(x)=x$より,\ $\bm{T_{n}(x)の最高次の係数は2^{n-1}}$である. \\[1zh] \phantom{ (3)}\ \ (2)より $\textcolor{cyan}{U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)\ (n\geqq2)}$ \\[.2zh] \phantom{ (3)}\ \ よって,\ \textcolor{red}{$U_{n+1}(x)$の最高次の係数は$U_{n}(x)$の最高次の係数の2倍}である. \\[.2zh] \phantom{ (3)}\ \ $U_1(x)=1$より,\ $\bm{U_{n}(x)の最高次の係数は2^{n-1}}$である. もちろん数学的帰納法で示してもよいが,\ 漸化式からほぼ明らかなので簡潔に記述した. \\[.2zh] 最高次の係数は等比数列1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \cdots\,をなすから,\ nのとき2^{n-1}\,である.  \betu\ \ [\,(1),\ (2),\ (3)をまとめて証明\,] \\[1zh]  \maru{\text A}\ \scalebox{.95}[1]{「最高次の係数$2^{n-1}$の整数係数$n$次式$T_n(x)$を用いて$\cos n\theta=T_n(\cos\theta)$と表せる」} \\[.5zh]  \maru{\text B}\ \scalebox{.95}[1]{「最高次の係数$2^{n-1}$の整数係数$n-1$次式$U_n(x)$を用いて$\sin n\theta=U_n(\cos\theta)\sin\theta$と表せる」} \\\\  [1]\ \ $n=1$のとき  $T_1(x)=x,\ U_1(x)=1$より,\ \maru{\text A},\ \maru{\text B}は成り立つ. \\\\  [2]\ \ $n=k$のとき  \maru{\text A},\ \maru{\text B}が成り立つと仮定する. \\[1zh] \phantom{ [1]}\ \ $n=k+1$のとき \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ $  \textcolor{forestgreen}{\cos(k+1)\theta=\cos(k\theta+\theta)=\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta}$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ $  \phantom{\cos(k+1)\theta}=T_k(\cos\theta)\cos\theta-U_k(\cos\theta)\sin^2\theta$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ $  \phantom{\cos(k+1)\theta}=T_k(\cos\theta)\cos\theta-U_k(\cos\theta)(1-\cos^2\theta)$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ $  \phantom{\cos(k+1)\theta}=\{\textcolor{red}{T_k(\cos\theta)\cos\theta+U_k(\cos\theta)\cos^2\theta}\}-U_k(\cos\theta)$ \\\\ \phantom{ [1]}\ \  $T_k(x)$は整数係数$k$次式,\ $U_k(x)$は整数係数$k-1$次式である. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \  このとき,\ $\{T_k(x)x+U_k(x)x^2\}-U_k(x)$は整数係数$k+1$次式である. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \  また,\ 最高次$x^{k+1}$の係数は$2^{k-1}+2^{k-1}=2\cdot2^{k-1}=2^k$である. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \  $\textcolor{red}{\{T_k(x)x+U_k(x)x^2\}-U_k(x)=T_{k+1}(x)}$とおけ,\ $n=k+1$のときも\maru{\text A}が成り立つ. \\\\ \phantom{ [1]}\ \ $  \textcolor{forestgreen}{\sin(k+1)\theta=\sin(k\theta+\theta)=\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta}$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ $  \phantom{\sin(k+1)\theta}=U_k(\cos\theta)\sin\theta\cos\theta+T_k(\cos\theta)\sin\theta$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ $  \phantom{\sin(k+1)\theta}=\{\textcolor{red}{U_k(\cos\theta)\cos\theta+T_k(\cos\theta)}\}\sin\theta$ \\\\ \phantom{ [1]}\ \  $U_k(x)$は整数係数$k-1$次式,\ $T_k(x)$は整数係数$k$次式である. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \  このとき,\ $\{U_k(x)x+T_k(x)\}+T_k(x)$は整数係数$k$次式である. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \  また,\ 最高次$x^k$の係数は$2^{k-1}+2^{k-1}=2\cdot2^{k-1}=2^k$である. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \  $\textcolor{red}{\{U_k(x)x+T_k(x)\}+T_k(x)=U_{k+1}(x)}$とおけ,\ $n=k+1$のときも\maru{\text B}が成り立つ. \\\\  $\therefore [1],\ [2]\,$より,\ すべての自然数$n$に対して\maru{\text A},\ \maru{\text B}が成り立つ. 実は,\ \bm{通常の数学的帰納法}を用いて(1)~(3)を一気に証明することができる. \\[.2zh] また,\ \bm{加法定理を用いる}だけなので式変形も本解より自然だが,\ 以下の点に注意が必要である. \\[1zh] T_k(x)xはk+1次式,\ U_k(x)x^2\,もk+1次式である. \\[.2zh] しかし,\ これより\bm{直ちにT_k(x)x+U_k(x)x^2\,もk+1次式になるとはいえない.} \\[.2zh] 一般に,\ (k+1次式)+(k+1次式)=(k+1次式)とは限らないからである. \\[.2zh] 例えば,\ (x^2+2x)+(-\,x^2+x)=3x\ (1次式)である. \\[.2zh] もしT_k(x)とU_k(x)の最高次の係数が正ならば,\ このように最高次の項が消える可能性はなくなる. \\[.2zh] そこで,\ \bm{最高次の係数が2^{n-1}\,(正)という条件も含めて証明した.} \\[.2zh] 無意味に(1)~(3)をまとめたわけではなく,\ \bm{まとめて考えなければ証明できない}のである.  (4)\ \ $T_n(x)$以外に$\cos n\theta=S_n(\cos\theta)$となる多項式$S_n(x)$があるとする. \\[.2zh] \phantom{ (4)}\ \ このとき,\ すべての実数$\theta$に対して$T_n(\cos\theta)=S_n(\cos\theta)$が成立する. \\[.2zh] \phantom{ (4)}\ \ つまり,\ $-\,1\leqq x\leqq1$を満たすすべての$x$に対して$T_n(x)=S_n(x)$が成立する. \\[.2zh] \phantom{ (4)}\ \ \textcolor{red}{$T_n(x),\ S_n(x)$は$n$次式であるから,\ $T_n(x)=S_n(x)$は恒等式}である. \\[.2zh] \phantom{ (4)}\ \ よって,\ \textbf{$\bm{T_n(x)}$は一意に表される (1),\ (2)では,\ T_n(x),\ U_n(x)が存在することを証明した. \\[.2zh] (4)は,\ その表現がただ1通りであることの証明である. \\[.2zh] 一意性の証明は,\ \bm{文字で2通りの表現を設定してそれらが一致することを示す}とよいことが多い. \\[1zh] \cos n\theta=T_n(\cos\theta)より,\ T_n(\cos\theta)=S_n(\cos\theta)とできるが,\ 重要なのはこの後である. \\[.2zh] T_n(\cos\theta)=S_n(\cos\theta)だからといって,\ 直ちにT_n(x)=S_n(x)とすることはできない. \\[.2zh] 常に-1\leqq\cos\theta\leqq1より,\ \bm{-\,1\leqq x\leqq1の範囲のxに限りT_n(x)=S_n(x)が成り立つ}のである. \\[1zh] -1\leqq x\leqq1以外の範囲でもT_n(x)=S_n(x)となることを示すため,\ \bm{整式の一致の定理}を利用する. \\[.2zh] \ 「\bm{n次式f(x)=g(x)が恒等式\ \Longleftrightarrow\ 異なるn+1個のxの値に対して成立する}」(式と証明) \\[1zh] -\,1\leqq x\leqq1を満たす実数xは無限個あり,\ そのすべてのxに対してT_n(x)=S_n(x)が成立する. \\[.2zh] 異なるn+1個のxの値に対して成立することになるから,\ T_n(x)=S_n(x)が恒等式といえる. \\[.2zh] 恒等式ということは,\ すべての実数xに対して成り立つということである.  (5)\ \ $\textcolor{magenta}{T_n(-\,x)=(-\,1)^nT_n(x)}$を証明する. \\[1zh] \phantom{ (4)}\ \ $-\,1\leqq x\leqq1$のとき \\[.5zh]     $\textcolor{red}{T_n(-\,x)}=T_n(-\,\cos\theta)=T_n(\cos(\pi-\theta))=\cos n(\pi-\theta)$ \\[.2zh]     $\phantom{T_n(-\,x)}=\cos(n\pi-n\theta)=(-\,1)^n\cos n\theta=\textcolor{red}{(-\,1)^nT_n(x)}$ \\[1zh] \phantom{ (4)}\ \ \textcolor{red}{$T_n(x)$は$n$次式であるから,\ $T_n(-\,x)=(-\,1)^nT_n(x)$は恒等式}である. \\[.2zh] \phantom{ (4)}\ \ よって,\ すべての実数$x$に対して$\bm{T_n(-\,x)=(-\,1)^nT_n(x)}$である. \\\\[1zh]  \betu\ \ $\textcolor{magenta}{T_n(-\,x)=(-\,1)^nT_n(x)}\ \cdots\,\maru{\text A}$を数学的帰納法で証明する. \\[1zh] \phantom{ (4)}\ \ [1]\ \ $n=1,\ 2$のとき $T_1(x)=x$,\ \ $T_2(x)=2x^2-1$より,\ \maru{\text A}が成り立つ. \\[1zh] \phantom{ (4)}\ \ [2]\ \ $n=k,\ k+1$のとき \\[.5zh]       $T_k(-\,x)=(-\,1)^kT_k(x),\ \ T_{k+1}(-\,x)=(-\,1)^{k+1}T_{k+1}(x)$が成り立つと仮定する. \\[1zh]       $\textcolor{cyan}{T_{k+2}(x)=2xT_{k+1}(x)-T_k(x)}$\ より \\[.5zh]        $\textcolor{red}{T_{k+2}(-\,x)}=2(-\,x)T_{k+1}(-\,x)-T_k(-\,x)$ \\[.2zh]        $\phantom{T_{k+2}(-\,x)}=-\,2x(-\,1)^{k+1}T_{k+1}(x)-(-\,1)^kT_k(x)$ \\[.2zh]        $\phantom{T_{k+2}(-\,x)}=(-\,1)^{k+2}\{2xT_{k+1}(x)-T_k(x)\}=\textcolor{red}{(-\,1)^{k+2}T_{k+2}(x)}$ \\\\       よって,\ $n=k+2$のときも\maru{\text A}が成り立つ. \\\\ \phantom{ (4)}\ \ $\therefore$ [1],\ [2]\,より,\ すべての自然数$n$について\maru{\text A}が成り立つ. f(-\,x)=-\,f(x)のとき & f(x)は奇関数(原点対称) \\[.2zh] f(-\,x)=f(x)のとき & f(x)は偶関数(y軸対称) \end{cases}} \\\\[0zh] nが奇数のときT_n(-\,x)=-\,T_n(x),\ nが偶数のときT_n(-\,x)=T_n(x)を示せばよい. \\[.2zh] 場合分けして証明してもよいが,\ 実はまとめて証明すると簡潔に済む. \\[.2zh] 要は,\ \bm{T_n(-\,x)=(-\,1)^nT_n(x)}を示せばよいというわけである. \\[1zh] 本解は,\ \bm{xを一旦\cos\theta\,に置き換える}ものである.\ -1\leqq x\leqq1のとき,\ x=\cos\theta\,とおける. \\[.2zh] 補角の公式\cos(\pi-\theta)=-\,\cos\theta\,を逆に用いた後,\ T_n(\cos\theta)=\cos n\theta\,を適用する. \\[.2zh] \bm{\cos(n\pi-n\theta)は,\ nが奇数のとき-\cos n\theta,\ nが偶数のとき\cos n\theta}\,となる. \\[.2zh]  \rei\ \ \cos(3\pi-3\theta)=\cos\{2\pi+(\pi-3\theta)\}=\cos(\pi-3\theta)=-\,\cos3\theta (\,\because\ 補角の公式) \\[.2zh]  \rei\ \ \cos(4\pi-4\theta)=\cos(-\,4\theta)=\cos4\theta (\,\because\ 負角の公式) \\[.2zh] よって,\ nが奇数の場合と偶数の場合をまとめて(-\,1)^n\cos n\theta\,とできる. \\[.2zh] \bm{整式の一致の定理}により,\ すべての実数xに対しても成り立つことが示される. \\[1zh] 別解は,\ \bm{漸化式と数学的帰納法}によるものである. \\[.2zh] \bm{T_{k+2}(-\,x)=(-\,1)^{k+2}T_{k+2}(x)}という最終目標を意識して式変形する必要がある. \\  (6)\ \ \scalebox{.96}[1]{\textcolor{cyan}{$T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x)$}より,\ \textcolor{red}{$T_{n+2}(x)$の定数項は$T_n(x)$の定数項の$-\,1$倍になる.}} \\[.5zh] \phantom{ (4)}\ \ $T_1(x)=x,\ T_2(x)=2x^2-1$より,\ $T_1(x),\ T_2(x)$の定数項はそれぞれ $0,\ -\,1$ \\[.5zh] \phantom{ (4)}\ \ よって,\ $T_n(x)$の定数項は  $\bm{nが奇数のとき0,\ \ nが偶数のとき(-\,1)^{\frac n2}} 2xT_{n+1}(x)は定数項に影響しないから,\ 漸化式からほぼ明らかである. \\[.2zh] T_1(x)の定数項が0なので,\ T_3(x),\ T_5(x),\ \cdots\,の定数項は0である. \\[.2zh] T_2(x)の定数項が-1なので,\ T_4(x),\ T_6(x),\ \cdots\,の定数項は1,\ -\,1,\ \cdots\ である. {$T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$の両辺を$\theta$で微分}すると $T’_n(\cos\theta)(-\,\sin\theta)=-\,n\sin n\theta$ \\[.5zh] \phantom{ (4)}\ \ $\sin n\theta=U_n(\cos\theta)\sin\theta$より $T_n'(\cos\theta)\sin\theta=nU_n(\cos\theta)\sin\theta$  $T’_n(x)=nU_n(x)$ \\\\ \phantom{ (4)}\ \ \textcolor{red}{$T’_n(x),\ U_n(x)$は$n-1$次式なので,\ $T’_n(x)=nU_n(x)$は恒等式}である. \\[.2zh] \phantom{ (4)}\ \ よって,\ すべての実数$x$に対して$\bm{T’_n(x)=nU_n(x)}$である. \\\\[1zh] %全係数の和が1 $T_n(1)=1$ \\ %$T_n$の1次の項は $n$が偶数のとき0,\ $n$が奇数のとき$(-1)^{\frac{n-1}{2}}\cdot n$ \\ %$T_n$の2次の項は $n$が偶数のとき$(-1)^{\frac n2-1}\cdot\bunsuu{n^2}{2}$,$n$が奇数のとき0 左辺は合成関数の微分の扱いになる. \{T_n(\cos\theta)\}’=T’_n(\cos\theta)(\cos\theta)’ \\[.2zh] 限定すると\sin\theta\neqq0より,\ 両辺を\sin\theta\,で割ることができる. \\[.2zh] あるが,\ \bm{整式の一致の定理}より結局全ての実数xに対して成り立つ.
タイトルとURLをコピーしました