チェビシェフの多項式② 方程式Tn(x)=0の解とcosの値

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本項の内容は上級者用で、数B:数列が学習済みであることを前提としています。

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チェビシェフの多項式$T_n(x),\ U_n(x)$\ (前項で学習)に対して以下の性質が成り立つ. \\[1zh]  以下に[1]と[2]の証明をそれぞれ示す. \\[.2zh]  天下り的な証明だが,\ よく理解してできるようにしておいてほしい. のとき$\cos\theta$は単調減少するから,\ \maru1は異なる$n$個の解である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{red}{$n$次方程式$T_n(x)=0$の実数解は最大でも$n$個なので,\ \maru1が解のすべて}である. のとき$\cos\theta$は単調減少するから,\ \maru2は異なる$n-1$個の解である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{red}{$n-1$次方程式$U_n(x)=0$の実数解は最大でも$n-1$個なので,\ \maru2が解のすべて}である. \ まずの範囲にあるt_n(x)=0の解を求める}ことを考える. \\[.2zh]=”” このとき,と置換し,\=”” \bm{\theta\,についての方程式に変換する}ことができる.=”” 前項より\bm{t_n(\cos\theta)=”\cos” n\theta}\,であったから,\=”” \cos=”” n\theta=”0を解くことになる.” 範囲に注意して\,\theta\,を求めると,\=”” x=”\cos\theta\,よりxも求められる.” つまり,\=”” \bm{-\,1\leqq=”” x\leqq1の範囲に異なるn個の解をもつ}とわかる.=”” n次方程式がn+1個以上の解をもつことはないから,\=”” これですべての解が求まったことになる.=”” x\leqq-\,1,\=”” 1\leqq=”” xの範囲を考えるまでもなく,\=”” すべての解が-10である. \\[.8zh] よって,\ \cos\bunsuu{\pi}{10}\,の値は\ \bunsuu{\ruizyoukon{10\pm2\ruizyoukon5}}{4}\,のどちらかである. \,であることも考慮すると確定する. \\\\ 本問の本質は,\ \bm{T_5(x)=0の解とT_5(\cos\theta)=\cos5\theta=0の解の比較}にある. \\[.2zh] まず,\ T_5(x)=0を普通にxの5次方程式として解くと,\ 5個の解を求められる. \\[.2zh] 一方,\ 最初に示したようにx=\cos\theta\,として解くこともできるのであった. \\[.2zh] n=5のとき,\ 5個の解\cos\bunsuu67\pi$は$8x^3+4x^2-4x-1=0$の異なる3解}である. \\\\ \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{magenta}{3次方程式の解と係数の関係}より まず,\ T_4(x)=T_3(x)をxの方程式として解くことを考える. \\[.2zh] しかし,\ 8x^3+4x^2-4x-1=0が因数分解できず,\ x=1以外の解を求めることは困難である. \\[1zh] 一方,\ x=\cos\theta\,として解いてみると,\ 範囲の3つの解が求められる. cosA=cosB (n:整数)}を利用した.=”” 和積の公式を用いて=”” \bm{3つは異なる解であり,\=”” かつ=”1ではないので,\” 8x^3+4x^2-4x-1=”0の3解}のはずである.” 3次方程式の3解の和と積は,\=”” \bm{解と係数の関係}で求められるのであった.=”” \\[1zh]=”” 3次方程式ax^3+bx^2+cx+d=”0の3解を\,\alpha,\” \beta,\=”” \gamma\,とすると=”” \の範囲の3つの解が求められる.の範囲で求まったわけである.
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