三角関数の最大・最小③(sinθとcosθの対称式)

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y=\sin2\theta-2\sin\theta-2\cos\theta+1\ (0\leqq\theta\leqq\pi)\ の最大値・最小値を求めよ.$ 三角関数の最大・最小\maru3($\bm{\sin\theta\,と\cos\theta\,の対称式}$)}}}} \\\\[.5zh]  少し変形すると,\ $y=2\sin\theta\cos\theta-2(\sin\theta+\cos\theta)+1$\ となる. \\[.2zh]  この式は,\ $\bm{\textcolor{blue}{\sin\theta\,と\cos\theta\,の対称式}}$である. \\\\  この型の重要ポイントは以下の2点である. \\[1zh]   $[1]$\ \ $\bm{\textcolor{red}{\sin{\theta}+\cos{\theta}=t}}とおくと,\ \bm{\textcolor{red}{tのみの式に変形できる.}}$ \\[.5zh]   $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{t}$のとる値の範囲}}を,\ \textbf{\textcolor{cyan}{三角関数の合成}}により求める. \\\\\\   $\textcolor{red}{\sin{\theta}+\cos{\theta}=t}\ とおく.$ \\[.2zh]   両辺を2乗すると xとyを入れ替えても変わらない式を2変数x,\ yの対称式という.  \rei\ \ x^2+y^2 \\[.2zh] 問題を見たときに\,\sin\theta\,と\,\cos\theta\,の対称式であることに気づけるかが重要である. \\[.2zh] 2倍角の公式\,\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\,を適用することで\,\sin\theta\,と\,\cos\theta\,の対称式となる. \\[1zh] 和\,\sin\theta+\cos\theta=tを2乗して\,\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\,を用いると,\ 積\,\sin\theta\cos\theta\,もtで表せる. \\[1zh] さらに,\ tは\bm{a\sin\theta+b\cos\theta}の形である. \\[.2zh] よって,\ 前項と同様,\ 三角関数の合成によりとりうる値の範囲を求められる. \\[.2zh] まず角\,\theta+\bunsuu{\pi}{4}\,の範囲を確認し,\ 単位円を用いて\,\sin\hspace{-.2zw}\left(\theta+\bunsuu{\pi}{4}\right)のとりうる値の範囲を求めればよい. \\\\ 結局,\ y=t^2-2t\ (-\,1\leqq t\leqq\ruizyoukon2\,)の最大・最小問題に帰着する. \\[.2zh] ここでは,\ 最大・最小をとるときの\,\theta\,も求めた. \\[.2zh] \bunsuu{\pi}{4}\leqq\theta+\bunsuu{\pi}{4}\leqq\bunsuu54\pi\,の範囲でy座標が\pm\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\,となる角を考えることになる. \\\\ 本項のパターンには対称式ではない場合も含まれるが,\ a\sin\theta+b\cos\theta=t\,とおくのは同じである. \\[.2zh] 例えば,\ y=2\sin\theta\cos\theta-(\ruizyoukon3\sin\theta-\cos\theta)ならば,\ \ruizyoukon3\sin\theta-\cos\theta=t\ とおけばよい.
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