三角関数の最大・最小③(sinθとcosθの対称式)

symmetrical-expression-maxmin

少し変形すると,\ $y=2sinθcosθ-2(sinθ+cosθ)+1$\ となる.  この式は,\ ${sinθ\ とcosθ\ の対称式$である.  次の2段階を踏み,\ 普通の最大・最小問題に帰着させる.   $$${sin{θ}+cos{θ}=t}とおいて,\ tのみの式に変形する.$   $$${t}$のとる値の範囲}を,\ 三角関数の合成}により求める.}  よって $t=-1\ のとき 最大値\ 3,  t=1\ のとき 最小値\ -1$ sinθ,\ cosθ\ の和tを2乗し,\ sin²θ+cos²θ=1\ を用いると,\ 積もtで表せる. sin2θ\ に{2倍角の公式}を適用すると,\ 角が統一され,\ tのみの式に変形できる. またtは,\ {角が等しい1次のsin とcos の和}であるから,\ 合成して範囲を求める. 後は,\ この範囲でyの最大・最小を求めればよい. ここでは,\ 最大・最小をとるときの\ θ\ も求めておいた. 対称式ではないが,\ とおく型も同様に解ける.

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