文字を含む三角関数の最大・最小、三角関数の絶対不等式

スポンサーリンク
complex-number-equality
関数$y=\cos2\theta-4a\cos\theta+5\ \,(0\leqq \theta<2\pi,\ aは定数)$の最大値と最小値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 不等式$\cos2\theta-4a\cos\theta+5\geqq0\ (0\leqq \theta<2\pi)$が常に成り立つような定数$a$の値 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ の範囲を求めよ.{文字を含む三角関数の最大・最小,\ 絶対不等式}} 2倍角の公式を用いると角を\,\theta\,に統一できる. \\[.2zh] \cos\theta=t\,とおくとtの2次関数になるが,\,\bm{置換後の文字tのとりうる値の範囲を確認する}必要がある. \\[.2zh] 結局,\ \bm{区間固定型の文字を含む2次関数の最大・最小問題}に帰着する(数\text Iで学習済). \\[1zh] この問題は区間と軸の位置関係によって場合分けするのであった.\ 最大と最小は別々に考えるとよい. \\[.2zh] \bm{軸t=aが区間の中央t=0の左側にあるとき,\ 区間の右端t=1で最大}となる. \\[.2zh] \bm{軸t=aが区間のちょうど中央にあるとき,\ 区間の両端t=-\,1,\ 1で最大}となる. \\[.2zh] このとき,\ f(-\,1)とf(1)の値が等しくなるので,\ t=a=0となることも考慮して求める. \\[.2zh] \bm{軸t=aが区間の中央t=0の右側にあるとき,\ 区間の左端t=-\,1で最大}となる. \\[1zh] なお,\ 0\leqq\theta<2\pi\,より,\ t=-\,1のとき\,\theta=\pi,\ t=1のとき\,\theta=0である. \bm{軸t=aが区間の左側にあるとき,\ 区間の左端t=-\,1で最小}となる. \\[.2zh] \bm{軸t=aが区間内にあるとき,\ 軸t=aで最小}となる. \\[.2zh] \bm{軸t=aが区間の右側にあるとき,\ 区間の右端t=1で最小}となる. 「常にf(t)\geqq0が成り立つ」は,\ 「\bm{\,[\,f(t)の最小値\,]\geqq0}\,」と言い換えられる. \\[.2zh] 図形的には,\ y=f(t)のグラフがt軸の上側にあればよいということになる. \\[.2zh] 厄介なのは,\ \bm{-\,1\leqq t\leqq1という範囲がある}ことである. \\[.2zh] もしすべての実数tに対してf(t)\geqq0ならば,\ D\leqq0\ (t軸との共有点が0個か1個)のみで済む. \\[.2zh] しかし,\ 本問は-1\leqq t\leqq1の範囲でf(t)\geqq0なので,\ それ以外の範囲ではf(t)<0でもよい. \\[.2zh] 結局,\ 軸の位置によってどこで最小をとるかが変わるので,\ 場合分けして考えることになる. \\[1zh] f(t)=2t^2-4at+4の最小値は(1)で求めたので,\ これを利用する. \\[.2zh] 各場合ごとに[\,最小値\,]\geqq0を解き,\ aのとりうる値の範囲を求める. \\[.2zh] それぞれはあくまでも場合分けの条件のもとでの最小値なので,\ これとの共通範囲にする必要がある. \\[.2zh] 3つの場合をすべてまとめて最終的な答えとする.
タイトルとURLをコピーしました