三角関数の相互関係と還元公式(負角の公式・補角の公式・余角の公式)

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一般角の三角関数の定義}   単位円を用いた三角比の定義(数Iで学習)の範囲をなくしただけだが,\ 改めて確認する. \\[1zh]   一般角$\theta$の動径と単位円との交点を$(x,\ y)$とするとき \\[.5zh] \centerline{$\bm{正弦\ \ \textcolor{red}{\sin\theta=y}}$   $\bm{余弦\ \ \textcolor{red}{\cos\theta=x}}$   $\bm{正接\ \ \textcolor{red}{\tan\theta=\bunsuu yx}}\ (=傾き)$} \\[1zh]   $x,\ y$の符号を考慮すると,\ 三角関数の値の符号が右図のようになることもわかる. \\\\ \maru1\ \ 三角関数の定義より直ちに三角関数の周期性}}($n:整数$ 角\,\theta+2n\pi\,(n:整数)の動径は角\,\theta\,の動径と一致するから,\ 三角関数の値も一致する.負角の公式 角\,\theta\,の動径と角-\theta\,の動径はx軸対称の位置にある. \\[.2zh] よって,\ 動径と単位円の交点の座標は,\ x座標は等しく,\ y座標は正負が逆になる. 角\,\theta\,の動径と角\,\pi+\theta\,の動径は原点対称の位置にある. \\[.2zh] よって,\ 動径と単位円の交点の座標は,\ x座標,\ y座標ともに正負が逆になる. \\[1zh] 角\,\theta\,の動径と角\,\pi-\theta\,の動径はy軸対称の位置にある. \\[.2zh] よって,\ 動径と単位円の交点の座標は,\ x座標は正負が逆,\ y座標は等しくなる. \\ 図の色塗り直角三角形は合同である. \\[.2zh] よって,\ 角\,\bunsuu{\pi}{2}+\theta,\ \bunsuu{\pi}{2}-\theta\,の動径と単位円との交点の座標はそれぞれ(-\,y,\ x),\ (y,\ x)となる. \\[.5zh] わかりにくいならば,\ 一旦\,\theta=30\Deg\,等の具体的な角度で考えてみるとよい.  さて,\ $\pi\pm\theta$と$\bunsuu{\pi}{2}\pm\theta$の公式の丸暗記は容易ではなく,\ 毎回図で考えるのも面倒である. \\[.2zh]  仮に暗記したとしても,\ $\sin(\theta-\pi)$や$\sin\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu32\pi-\theta\right)$になるとまた考え直す羽目になる. \\[.2zh]  そこで推奨されるのが,\ 以下の2段階の判断方法を習得することであった. \\[.2zh]  数Iの三角比カテゴリでも紹介したが,\ 改めて示しておく. {関数の種類を判断}}する.\ 2パターンしかないので暗記する. {関数は変化しない.}{変形後の$\bm{\pm}$は,\ 元の式の$\bm{\theta}$に\underline{鋭角}を代入したときの$\bm{\pm}$と一致する.} よって,\ +\,になるか-になるかは,\ 元の式の\,\theta\,に鋭角を代入した値が正か負かに依存する. 三角比の相互関係により,\ \bm{\sin,\ \cos,\ \tan\,のうち1つの値がわかれば残り2つの値も求められる.} \\[1zh] (1)\ \ \bm{2乗をはずすとき,\ +\,か-か \pm かを確認する}必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問の\,\theta\,は第3象限の角であるから,\ \sin\theta<0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \sin,\ \cos,\ \tan\,のうち2つの値がわかれば,\ 残り1つは\,\tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}\,を用いて求めればよい. \\\\ に加えて\,\bm{\tan\theta<0であることも考慮}しなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ すると,\ \bm{\theta\,が第2象限の角}であることがわかるから,\ \cos\theta<0が確定する. 等式A=Bの証明には以下のような方法があった(数\text{I\hspace{-.1em}I}\ 式と証明分野で学習済). \\[.5zh]  [1]\ \ AかBの複雑な方を変形して簡単な方を導く. \\[.3zh]  [2]\ \ AもBも複雑な場合,\ AとBの両方を変形して同じ式を導く. \\[.3zh]  [3]\ \ A-B=0を示す. \\[1zh] (1)\ \ 複雑な左辺を変形して右辺を導けばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分数の和なので通分して整理し,\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1を利用すると約分できる. \\[1zh] (2)\ \ 通分し,\ 1+\tan^2\theta=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}\,と\,\tan\theta=\bunsuu{\sin\theta}{\cos\theta}\,を適用する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 最悪,\ 1+\tan^2\theta=1+\bunsuu{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\bunsuu{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\bunsuu{1}{\cos^2\theta}\,と変形できる. \bm{還元公式を駆使して鋭角に統一する.} \\[.2zh] \bunsuu{\pi}{2}\,や\,\pi\,とどんな大きさの角をどのように組み合わせると角を統一できるかを考える必要がある. \\[.8zh] \bunsuu{17}{18}\pi,\ \ \bunsuu59\pi=\bunsuu{10}{18}\pi,\ \ \bunsuu{\pi}{2}=\bunsuu{9}{18}\pi,\ \ \pi=\bunsuu{18}{18}\pi\ のように分母を揃えて組み合わせを考えるとよい. \\[.8zh]
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