高校数学Ⅲ　積分法の応用（数式）

当カテゴリでは、積分の応用問題の中で数式的側面が強いモノを取り上げる。要するに、図形的側面が強いモノ(面積・体積・長さ)以外である。

これらの問題は背景を知らなくても機械的な計算によって求めることができる場合も多いが、背景を知っていると見通しが良くなり、場合によっては有利不利が生じる。高校範囲を超えた知識であってもある程度知っておくことが望ましいため、軽くではあるが取り上げることにする。

特に、積分漸化式の関連パターンは背景が面白い上にポイントを多く含むために入試問題にしやすく、頻出である。扱いに慣れが必要なものもあるので、よく演習しておくことが望ましい。対応できるかどうかで決定的な差がつく部分である。

当然ながら、基本的な積分計算を習得済みであることが前提である。

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当カテゴリ内記事一覧

• 文字を含む絶対値付き関数の定積分∫|logx-k|dxの最小値
• 解けない定積分の不等式の証明（ジョルダンの不等式の利用）
• 解けない数列の和の不等式の定積分を利用する証明
• 調和級数Σ1/nの発散とオイラー定数
• ∫1/xdxと長方形の面積比較によるlog2の数値評価（台形近似）
• 階乗の近似式（スターリングの公式：n!≒(n/e)ⁿ）
• 積分方程式①（定数型）3パターン
• 定積分で表された関数の微分　d/dx∫f(t)dt=f(x)の証明
• 積分方程式②（変数型）3パターン
• 最小2乗法①　∫(sinx-ax)^2dxの最小値（多項式による三角関数の近似）
• 三角関数の内積∫cosmxcosnxdxと直交性
• 最小2乗法②　∫(x-asinx)²dxの最小値（三角関数による多項式の近似とフーリエ級数展開）
• n乗の積分の漸化式　∫sinⁿxdx、∫cosⁿxdx、∫(logx)ⁿdx、∫xⁿe^xdx、∫tanⁿxdx
• 積分漸化式∫sinⁿxdxの応用①　ウォリス積分
• 積分漸化式∫tanⁿxdxの応用②　メルカトル級数とライプニッツ級数
• 積分漸化式∫xⁿe^xdxの応用③　自然対数の底eの無限級数表示と無理数性
• 積分漸化式∫xⁿe^xdxの応用④　ガンマ関数Γ(p)（階乗の実数への一般化）
• 積分漸化式∫x^p(1-x)^qの応用⑤　ベータ関数B(p,q)（裏技1/6公式の一般化）
• 逆関数の定積分の等式∫f(x)dx+∫g(x)dx=bf(b)-af(a)とy=tanxの逆関数の定積分
• tanxの逆関数の定積分表示f(x)=∫1/(t²+1)dtと性質
• 微分方程式　直接積分形dy/dx=f(x)と変数分離形dy/dx=f(x)g(y)
• 1階線形微分方程式　dy/dx+P(x)y=Q(x)
• 回転体の容器への注水と水面の上昇速度・水面の面積の増加速度・排水時間
• 定積分で表された関数の極限　lim1/(x-a)∫f(t)dt
• 定積分の定義(区分求積法)を利用する和の極限　∫f(x)dx=lim1/nΣf(k/n)