回転体の容器への注水と水面の上昇速度・水面の面積の増加速度・排水時間

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曲線$y=x²\ (0 x2)$を$y$軸の周りに回転させてできる容器に毎秒$π$cm$³$の割合で 水を注ぐ.\ 長さの単位はcmとする.  4秒後の水深を求めよ.  4秒後の水面が上昇する速度を求めよ.  4秒後の水面の面積の増加速度を求めよ.  容器の底にある排水口を開けると,\ 水深が$h$のときに毎秒$ h$cm$³$の割合で { }排水される.\ 満水の容器が空になるまでの時間$T$を求めよ. 水深が$h$cmのときの水の体積を$V$cm$³$とする. \4秒後の水量はπ$の両辺を時間$t$で微分すると水深が$h$cmのときの水面の面積を$S$cm$²$とする.排水速度は\ 水の問題は扱いがやや独特なので,\ 一度は経験しておかなければ対応が困難である. {水深・面積・体積がいずれも時間の関数}であることがポイントになる. 水の体積は1秒当たりπcm³増加するから,\ 4秒後には4πcm³となる. 後は,\ 水深がhのときの体積を求めればよい. y軸周りの回転体の体積公式は\ V=π∫a}{b}x²dy\ である. 水の問題では,\ とにかく{与えられた条件と求めるべき量を数式で表す}ことが重要である. 物理量は,\ {時間で微分すると速度}になる.\ よって,\ 与えられた条件は\ {dV}{dt}=π\ と表せる. また,\ 求めるべき水面が上昇する速度は,\ {dh}{dt}\ と表せる. dV}{dt}から{dh}{dt}を求めたいので,\ Vとhの関係を式にすればよい}とわかる. これはですでに求めており,\ {両辺を時間微分}することで{dV}{dt}と{dh}{dt}が現れる. 右辺のf(h)={h²}{2}πは見かけ上hの関数なので,\ {合成関数の微分法}の扱いになる. {df(h)}{dt}={df(h)}{dh}{dh}{dt}\ のように,\ 一旦hで微分した後でつじつまを合わせることになる. 後は,\ 既知の{dV}{dt}やhを代入すると{dh}{dt}が求まる. {dV}{dt},\ {dh}{dt}が既知で,\ 求めたいのは{dS}{dt}である. よって,\ VとSの関係またはhとSの関係を式にすればよいことがわかる. 普通に考えて,\ hとSの関係を式にするほうが楽である. 水深がhのときの水面の半径は hであるから,\ 水面の面積はπ( h)²=π h\ である. 後は,\ 両辺を時間微分すればよい. 排水すると水の体積は減少するから,\ その速度は- hとなる. Vとhの関係は変わらないので,\ {dV}{dt}=π h{dh}{dt}\ の関係も変わらない. 排水速度{dV}{dt}=- hを代入すると,\ {変数分離形の微分方程式}に帰着する. dt=-π hdh\ のようにしてtとhを分離し,\ 両辺を積分する. 初期条件h=4のときt=0も考慮すると,\ tとhのの関係式が得られる. h=0のときのtが,\ 容器が空になるまでの時間Tである. tが0→Tのときhは4→0なので,\ 最初から\ ∫0}{T}dt=-π∫4}{0} hdh\ としてもよい.
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