定積分で表された関数の微分 d/dx∫f(t)dt=f(x)の証明

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単純には「積分したモノを微分すると元に戻る」といえるが,\ 実際にはそこまで単純ではない. 次の証明をしっかりと理解しておく必要がある.\ 証明といっても普通に計算するだけである. f(t)の原始関数の1つをF(t)とする. aは定数なので,\ {d}{dx}F(a)=0\ である. F(g(x))は,\ F(x)のxをg(x)で置き換えた{合成関数}である. 例えば,\ F(x)=sin x,\ g(x)=x²\ のとき,\ F(g(x))=F(x²)=sin x²\ である. これを微分するとき,\ (sin x²)’=cos x²(x²)’\ のようにg(x)の微分を掛ける必要があった. つまり,\ {d}{dx}F(g(x))=F'(g(x)) g'(x)\ となるわけである. 定数aからxまでの定積分の微分なので,\ 単純にtをxに変えれば済む. もし\ f(x)=∫x}{1}tsin²tdt\ だったならば,\ f'(x)=-xsin²x\ となる. x²を代入したモノから3xを代入したモノを引けばよい. ただし,\ それぞれ微分を掛けるのを忘れてはならない.
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