定積分で表された関数の極限 lim1/(x-a)∫f(t)dt

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当ページの内容は、本来は数Ⅲの微分法と積分法の後に学習するものですが、それらを未習でも学習可能です。

lim1/(x-a)∫f(t)dt 次の極限を求めよ.$ }{定積分で表された関数の極限 ${limx→ a}{1}{x-a}∫a}{x}f(t)dt$の形の極限は,\ 以下のように積分計算せずに求めることができる. 原始関数を$F(x)$として計算すると微分係数の定義に帰着し,\ 結局${f(a)$となる. 答えだけなら瞬殺だが,\ 記述式試験では途中過程の記述が必要である. 積分変数はtであるからxは定数扱いであり,\ ∫1}{x²}{t²e^t}{x-1}dt={1}{x-1}∫1}{x²}t²e^tdtである. 微分係数の定義に帰着させるには,\ 分母分子にx²-1を掛ける必要がある.
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