漸化式と極限② 連立型と隣接3項間型

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数列${a_n},\ {b_n}$が漸化式$a_}定義されるとき, $lim[n→∞]{a_n}{b_n}$を求めよ. 漸化式と極限 連立型と隣接3項間型} 係数を比較すると $1$の等比数列であるか 初項$a₁+2b₁=3$,\ 公比6の等比数列であるから ${a_{n+1}+a_n}$は,\ 初項$a₂+a₁=9$,\ 公比6の等比数列であるから  ${a_{n+1}-6a_n}$は,\ 初項$a₂-6a₁=2$,\ 公比$-1$の等比数列であるからを連立して$a_{n+1}$を消去すると  連立漸化式は,\ {等比数列型a_{n+1}+α b_{n+1}=β(a_n+α b_n)}に帰着させるのが基本である. この式のa_{n+1},\ b_{n+1}に元の2式を代入し,\ 成り立つようなα,\ βを求める. \ (α,\ β)が2組求まるから等比数列型漸化式を2つ作成でき,\ それを解いた後連立する. 極限計算を見越すと,\ 66^{n-1}=6^nとしてしまわないほうがよい. {r^n}を含む分数の極限では,\ {分母の公比の絶対値が最大の項で分母分子を割る}のであった. 連立漸化式は,\ {一方を消去すると隣接3項間型漸化式}に帰着する. 通常,\ 連立漸化式は誘導がつくことが多いが,\ 隣接3項間型の解法は暗記必須である. 隣接3項間型への帰着は回りくどくなるが,\ 連立漸化式の解法を知らなくても解けるメリットがある. 隣接3項間型は,\ a_{n+2}=x²,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1とした特性方程式を解いて2解α,\ βを求める. 等比数列型漸化式\帰着する.  それぞれ解いた後,\ 差をとってa_{n+1}を消去すればよい.で定義されるとき,\ $lim[n→∞]{a_n}{a_{n+1$を求めよ.} $は初項$a₂-3a₁=2$,\ 公比3の等比数列であるから {両辺を$3^{n+1}$で割ると}  公差$29$の等差数列であるから \ 特性方程式の解が重解となる隣接3項間型漸化式である(x²-6x+9=0よりx=3). 等比数列型漸化式が1つしか作れないので,\ 連立してa_{n+1}を消去することができない. そこで,\ {指数型漸化式a_{n+1}=pa_n+r^n}として解くことになる. この型は,\ 両辺を{r^{n+1}で割る}と,\ 基本的な型に帰着するのであった. [.2z
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