数列の極限③:和や積の極限

(3)の最初の式でlimが抜けておりましたm(_ _)m

福岡大]$,[東京電機大]$ [小樽商科大]$関西医科大]$}{和や積の極限} Σ公式などを用いて和をnの整式に変形してしまえば,\ 後は基本的な分数式の極限に帰着する. 初項2,\ 公差3,\ 項数nの等差数列の和であるから とするのは{誤り}である. n→∞のとき\ 0+0++0}_{∞個}\ となるから0∞であり,\ これは不定形である. 個数が有限ならば,\ 100個だろうが10000個だろうが0+0++0=0である. 変数はkであり,\ nは定数であることに注意して計算する. nを約分すると分母と分子がそれぞれ2次式となるが,\ 展開して整理する必要はない. そのまま,\ {分母の最高次の項n²で分母・分子を割ればよい.} 別解は,\ 和を次のように考えて計算したものである. (n+1)²+(n+2)²++(2n)² ={1²+2²++n²+(n+1)²++(2n)²}-(1²+2²++n²) 通常のΣ計算の問題のように,\ 最終的に整理する必要があるならば別解が有利である. しかし,\ その形のまま極限計算するのであれば,\ どちらの解答も同じようなものである. lim[n→∞]log n=∞であるから,\ そのままでは\ ∞-∞\ の不定形である. 対数の性質\ log M-log N=log MN\ を用いて合体すると,\ 分数式の極限に帰着する. 積の形の極限は,\ 上手く変形すると約分できて簡単になるはずである. そうでなければ,\ そう簡単には極限が求まらない. 本問では,\ a²-b²=(a-b)(a+b)を適用した後に各括弧内を計算すると約分できる.
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