部分和を場合分けする無限級数の収束と発散

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次の無限級数の収束,\ 発散を調べ,\ 収束すればその和を求めよ. 部分和を場合分けする無限級数の収束と発散この無限級数は{収束し,\ その和は1}である.$} この無限級数は{収束し,\ その和は0}である.この無限級数は{発散する.}$} 以前学習した最も基本的な型の無限級数であり,\ 容易に和を求めることができる. a₁=1,a₂=-12,a₃=12,a₄=-13,\ の無限級数である. 無限級数では勝手に括弧をつけてはならないので,\ とは別物であることに注意する. こうなると,\ S_nをnの式で表すことができず,\ lim[n→∞]S_nを計算することができなくなる. ただし,\ {奇数項までと偶数項までの部分和ならば求められる}ことに気付かなければならない. 先に,\ {キリがよく求めやすい奇数項までの部分和S_n=S_{2m-1}から求める.} S₁=1,\ S₃=1-12+12,\ S₅=1-12+12-13+13,\ より,S_{2m-1}が解答のようになる. 次に,\ {偶数項までの部分和S_n=S_{2m}をS_{2m-1}を用いて求める.} つまり,\ S_{2m-1}に第2m項a_{2m}=-{1}{m+1}を足したものがS_{2m}である. 部分和{S_{2m-1と{S_{2mの極限値が1で一致するから,\ 無限級数の極限値は1となる. 部分和{S_{2mと{S_{2m-1が一致しないから,\ 無限級数は発散する. limm→∞}S_{2m}=limm→∞}S_{2m-1}のときとlimm→∞}S_{2m}limm→∞}S_{2m-1}のときの概念図が以下である. 発散する(振動する)}無限級数$Σ{1}{2^n}sin{2nπ}{3}$の収束,\ 発散を調べ,\ 収束すればその和を求めよ. $m$を自然数とすると  n=1,\ 2,\ 3,のときを具体的に考えてみると,\ {sin{2nπ}{3は周期3の数列となることがわかる. よって,\ 部分和を3つに場合分けする必要が生じる.\ まず,\ キリがよく最も簡単なS_{3m}から求める. 解答では,\ わかりやすいようにあえて0となる項も記述した.\ 結局,\ 無限等比級数の和に帰着する. 公比 r<1を確認した上で,\ 無限等比級数の和の公式{a}{1-r}を適用すればよい. 後は,\ limm→∞}S_{3m}を利用してlimm→∞}S_{3m-1}とlimm→∞}S_{3m-2}も求めると,\ 極限値が一致するとわかる.
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