数列の極限①:整式と分数式の極限

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例えば,\ $lim[n→∞](n³+n²)=∞$\ は,\ 容易に納得できるだろう. $n→∞のときn³→∞,\ n²→∞\ であり,\ {∞+∞ も当然∞ となるはずである.$ では,\ はどうだろうか.\ $n→∞$のとき$n²→∞,\ n³→∞$より,\ $∞-∞$の計算になる. これを見て,\ $∞-∞=0$とするのは絶対にやめてほしい. 実は,\ $一口に∞ といっても,\ {∞ の強さには違いがある.$ よって,\ ${∞-∞ は不定形の極限$と呼ばれ,\ このままでは極限が定まらない. \ このように,\ ${∞-∞ は,\ 0,\ ∞,\ さらにはそれ以外にもなりうるのである.$ また,\ $∞}{∞}も不定形である.\ 例えば,\ lim[n→∞]{n}{n}=1,\ lim[n→∞]{n²}{n}=lim[n→∞]n=∞$ である. 分子と分母のどちらの無限大が強いかによって,\ 極限が変わってくるわけである. さらに,\ ${∞(定数)は∞ だが,\ {∞0だけは不定形である.$ なお,\ ${∞}{∞}=∞{1}{∞}=∞0$ということである. 不定形になる場合,\ 不定形ではない形に変形してから極限にとばす必要がある. 変形方法も含めてまとめると次のようになる. 明らかに∞} ∞-∞} & 不定形}\ :\ 最高次の項をくくり出す.} ∞∞} & 明らかに∞} ∞∞} & 不定形}\ :\ 分母の最高次の項で,\ 分母・分子を割る.} {最高次のn³をくくり出す}と,\ ∞(定数)となるから,\ 結局∞ である. ∞-∞ =∞となったのは,\ {∞\ の強さがn³\gg n²}だからである. これは,\ 直感的にはn³があればn²を無視してよいことを意味する. n→∞ の世界では,\ n²などn³に比べると無同然なのである. ただし,\ 直感だけで極限を判断するのは危険なので,\ きちんと計算で確認しなければならない. また,\ もしlim[n→∞](2n³+3n²)ならば,\ 変形しなくても即座に∞ である. ∞+∞\ は不定形ではなく,\ 明らかに∞ なので変形する必要は全くない. 整式ならば常に最高次の項をくくり出す必要があると誤解しないでもらいたい. あくまでも,\ {不定形ではない形に変形するための変形}なのである. ∞の四則演算は定義されていないので,\ 答案に\ ∞∞,\ 0∞\ のような記述をしてはいけない. よって,\ 途中過程は書かずに一発で答えの∞ を書けばよい. {∞}{∞}の不定形となる分数式なので,\ {分母の最高次の項n²で分母・分子を割る.} ∞ の強さはn²\gg nなのでn²以外は無視でき,\ 直感的に答えが予想できる. 単純にn→∞とすると\ ∞-{∞²}{∞}=∞-∞\ となるから,\ 不定形である. 通分した後,\ 分母の最高次の項nで分母・分子を割ればよい. 2次式であるから最高次の項n²をくくり出すが,\ 展開する必要はない. ,ずつ各括弧内に入れるとよい. 分母は2次式であるから,\ 最高次の項n²で分母分子を割ればよい. このとき展開する必要はなく,\ {(n+1)(n+2)}{n²}=({n+1}{n})-.4zw}({n+2}{n})と考えればよい.
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