極限値から関数の係数決定

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x+3}-b}{x-1}=2$が成り立つとき,\ 定数$a,\ b$の値を求めよ. $limx→π}{sin(x-π)}{ax-b}=1$が成り立つとき,\ 定数$a,\ b$の値を求めよ. $limx→-∞}x²-2x-4}-(ax+b)}=0$が成り立つとき,\ 定数$a,\ b$の値を求めよ. 極限値から関数の係数決定 すでに,\ 数列の極限「分数式が収束するための必要条件」で,\ 同種の問題を取り扱った. 一応,\ 基礎となる事実を復習する.$α$を定数とする. 本問は,\ 上のの場合に該当する. 分数式が収束し,\ かつ分母が0に収束するので,\ {分子も0に収束することが必要条件}である. 逆の「分子が収束分数式が収束」は成り立たないので,\ 十分条件ではない. 例えば,\ f(x)=x,\ g(x)=x²とすると,\ lim[x→0]f(x)=0だが,\ lim[x→0]{f(x)}{g(x)}=lim[x→0]1xは収束しない. 必要条件b=2aを代入し,\ 極限値が2となるように定めたa,\ bが必要十分条件である. 本問は,\ 上のの場合に該当する. 分数式が0以外に収束し,かつ分子が0に収束するので,{分母も0に収束することが必要条件}である. 分子が収束することが必要}である. \ x<0のとき,\ {x²}=xではなく,\ {x²}=-xである. 無理関数でx→-∞とするとき,\ このミスのリスクを下げるため,\ まず置換するのが基本である. t→∞であるから,\ 有理化した後,\ 分母の最高次の項tで分母分子を割る. 分母が収束する場合,\ 分子も収束しなければ全体として収束しない. さらに,\ a<0も必要であることから,\ aの候補がただ1つに絞られる. 仮にa<0として絞り込めなくても,\ 実際にa=1を代入してみると∞に発散することに気付く. %{t²+2t-4}={(t+1)²-5} t+1より,\ a=-1,\ b=1と予想できる. さて,\ 本問は図形的意味も重要である. 本問から,\ x→-∞のとき,\ {x²-2x-4}と-x+1の差が限りなく0に近づくことがわかる. これは,\ 図形的には{y={x²-2x-4}の漸近線がy=-x+1}であることを意味する. y={x²-2x-4}の両辺を2乗して変形すると,\ 双曲線\ {(x-1)²}{5}-{y²}{5}=1\ である. 逆に言えば,\ この双曲線のy0の部分がy={x²-2x-4}であり,\ 図のようになるわけである. 結局,lim[x→∞]{f(x)-(ax+b)}=0となるa,\ bを求めると,\ y=f(x)の漸近線y=ax+bが求まる. ただし,\ 実際に漸近線を求めてグラフを描く場合は,\ もう少し簡潔な方法を用いる(数III}:微分法). f(x)}{x²-1}=4$を満たす多項式$f(x)$を求めよ. lim[x→∞]{f(x)-2x³}{x²}は,\ 分母が2次式である. よって,\ 分子の次数が3次以上の場合は∞に発散,\ 1次以下の場合は0に収束する. ゆえに,\ {分子は2次}であり,\ 3に収束することも考慮すると{x²の係数が3}でなければならない. 後は,\ limx→1}{f(x)}{x²-1}=4が成り立つようにa,\ bを定めればよく,\ 前問までと同様である. b=-a-5は,\ x→1のとき分子→0となるように求めたものである. 必然的に分子は(x-1)を因数にもつはずであり,\ このことも考慮すると楽に因数分解できる.
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