関数の極限⑦:三角関数の極限(置換)

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当ページの内容は、sin(π-θ)やsin(π/2-θ)の関連公式を瞬時に導く方法を以下のページで学習してから見るのがオススメです。
余角90°ーθの公式と補角180°ーθの公式

次の極限を求めよ三角関数の極限(置換三角関数の極限の公式 三角関数の極限において${00の不定形$となることが公式適用の目安である. このとき,\ ${x→0}$でない場合,\ ${t→0}$となるように文字を置換する. 00の不定形である.t→0となるためには,\ x-1=tと置換する必要がある. sin(θ+π)=-sinθを適用すると,\ 三角関数の極限の公式の形に変形できる. は公式だが,\ 非常時は加法定理で 00の不定形である.\ 置換は\ x-{π}{2}=t\ としてもよい. 公式\ sin({π}{2}-θ)=cosθ\ を適用すると1-cos tが現れるので,\ 分母分子に1+cos tを掛ける. 00の不定形である.\ 公式\ cos({π}{2}-θ)=sinθ\ を適用する. lim○→0}{sin○}{○}に帰着させるため,\ 分母に2sin tをおき,\ つじつまを合わせる. 00の不定形ではないが,\ 以下の理由により,\ これも\ lim[x→0]{sin x}{x}=1に帰着させる問題である. まず,\ limx→π/2}+0}tan x=-∞,\ limx→π/2}-0}tan x=∞\ (右図)より,\ limx→π/2tan xは存在しない. ただし,\ limx→π/2tan x}=∞であるから,\ limx→π/2(2x-π)tan x}は0∞の不定形である. ここで,\ ∞={1}{0}と考えると,\ 0∞の不定形と00の不定形は本質的に同じである. 結局,\ 本問も00の不定形の一種と考えられ,\ 三角関数の極限の公式に帰着する. 置換後,\ 公式tan({π}{2}-t)={1}{tan t}を適用する. なお,\ tan{π}{2}の値が存在しないので,\ tanの加法定理で直接この公式を導くことはできない. ,の不定形である.\ 三角関数の合成を行った後に置換するのがベストである(本解). 先に置換したのが別解である.\ 置換後,\ 合成するか加法定理を適用するかの選択に迫られる. ∞0=00の不定形である.t→0とするため,\ {1}{2x}=tと置換する.
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