数列の極限②:無理式の極限

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根号を含む${∞-∞}$の不定形:分母や分子を有理化する.} {∞}{∞}の不定形であるから,\ {分母の最高次の項で分母・分子を割る}ことになる. 無理式だからといって,\ 常に有理化が有効なわけではない. 重要なのは不定形を解消することであり,\ 有理化することが目的ではないのである. {n²+1}の次数は\ (2次)^{1/2}=(1次)\ である. 結局,\ {分母・分子をnで割ればよい.}を考慮すると,\ 極限が瞬時に予想できる. ∞-∞ の不定形である{分母を有理化}し,\ 整理する. ∞-∞ の不定形は解消されるが,\ 今度は{∞}{∞}の不定形となる. よって,\ {分母の最高次の項nで分母・分子を割る.} {n+2}- n\ は,\ ∞-∞ の不定形であるから,\ {分子の有理化}を行う. 整理すると{∞}{∞}の不定形になるから,\ {分母の最高次の項 nで分母・分子を割る.} 分母も分子も有理化する必要がある.\ 整理後,\ {分母の最高次の項 nで分母分子を割る.} 3乗根は,\ {(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³\ を適用して有理化}する. (a=n,\ b=[3]{n³+1}) 整理後,\ {分母の最高次の項n²で分母分子を割る.}
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