数列の極限⑦ 場合分けを要する無限等比数列rnを含む極限

極限は,\ 次の5つに分類されるのであった. よって,\ $r$が具体的な数値でない${r^n}$の極限の問題は,\ 場合分けして答えなければならない. ${r^n}の極限}  振動する}\ (極限なし)振動する}\ (極限なし) {収束する$ ただし,\ この5つの場合分けは実用性に欠ける.\ 実戦的には,\ 次の視点が重要である. 一般化すると ,\ とにかく∞があると不定形になることが多い. 不定形を解消するため,\ {-1<(公比)<1に変形して0に収束させる}必要が生じる. このとき,\ {rに絶対値をつけて場合分けする}のが本質的である. 分母の公比の絶対値が最大の項で分母・分子を割るのが基本であった. しかし,\ 当然 rと3の大小関係は場合によるから,\ 場合分けする必要が生じる. このとき,\ 絶対値を付けて場合分けすると,\ r>3とr<-3の場合を分ける必要がなくなる. {r(r²)^n-1}{(r²)^n+1}と変形できるから,\ 公比がr²の等比数列の極限の問題である. 常にr²>0より,\ 普通に考えると01と場合分けすることになる. 1r}<1,\ つまり\ r>1のとき,\ 0に収束する. 1r}=1,\ つまり\ r=1のとき,\ r=1とr=-1に分けて考える. r=1のときは1に収束するが,\ r=-1のとき(1r)^n=(-1)^nとなるから振動する. 1r}>1のとき,\ つまり\ r<1のとき,\ -11,\ つまり00とは限らないので,\ 両辺にrを掛けて1r>1を1>rとしてはならない. r>0とr<0で場合分けして分母を払ってもよいが,\ 両辺にr²(>0)を掛ける方法を推奨したい. 0<θ<{π}{2}より\ sinθ>0,\ cosθ>0\ であるから,\ sinθとcosθの大小関係が問題になる. 単位円上の点におけるx座標がcosθ,\ y座標がsinθというのが三角比の定義である. よって,\ x座標とy座標が等しくなるθ={π}{4}のとき,\ sinθ=cosθ(={1}{2})となる. 0<θ<{π}{4}のとき,\ x座標の方がy座標よりも大きくなるから,\ cosθ>sinθ\ となる. 本問は,\ lim[n→∞]{1-tan^nθ}{1+tan^nθ}\ という形で問われる可能性もある. tanθ<1,\ tanθ=1,\ tanθ>1と場合分けすることになり,\ 結局同じである. \次の極限を求めよ. はさみうちの原理より  {はさみうちの原理を利用する有名問題}であり,\ 一度は経験しておきたい. {すべての文字を最大数で置き換えたもので上から評価する}とはさみうちが完成する. ,\ ともに答えを\ {\max{a,\ b\ (a,\ bのうち大きい方を意味する記号)とまとめることができる.
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