関数の極限②:無理関数の極限

次の極限を求めよ.無理関数の極限 ${∞-∞ や00の不定形は,\ 数列の極限と同様,\ {分母や分子を有理化して解消できる.$ また,\ $∞}{∞}の不定形は,\ {分母の最高次の項で分母分子を割ることによって解消できる.$ ただし,\ ${無理関数においてx→-∞ とする場合,\ 大きな落とし穴がある.$ 今まで深く考えることなく,\ 次のような変形を行ってきたかもしれない. この変形は,\ $x→∞\ (x0)$ならば正しいが,\ ${x→-∞\ (x0)ならば誤りとなる.$ 普段変形するときに正負の考慮を欠いていた人は,\ たまたま合っていただけなのである. とにかく,\ 無理関数の$x→-∞$の極限は,\ 以上の落とし穴がミスのリスクを高くする. そこで,\ ${最初にx=-tと置換する$ことで,\ リスクを取り除くのが普通である. $x=-t$とすると,\ ${x→-∞ のときt→∞$となり,\ 通常通りに扱える. もちろん,\ 置換は必須ではなく,\ 正しく変形できるならばそのほうが速い. 単純に1を代入してみると00の不定形となるので,\ {分子を有理化}する. すると,\ x-1が約分でき,\ 不定形が解消される. 不定形だから有理化したのであり,\ 不定形でなければ単純に代入して終わりである. 単純にx→∞とすると∞-∞の不定形となるから,\ {分子を有理化}する. 整理していくと,\ 今度は{∞}{∞}の不定形となるので,\ {分母の最高次の項xで分母分子を割る.} 実は,\ x→∞のとき{x²-4x}={(x-2)²-4} x-2を考慮すると,\ 極限を予想できる. 繰り返すが,\ 不定形だから変形したのであり,\ 不定形でなければ変形する必要はない. 単純に0を代入してみると00の不定形となるので,\ {分母を有理化}する. 単純に0を代入してみると00の不定形となるので,\ {分母を有理化}する. 3乗根は,\ (a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³を利用すると有理化できる. 単純にx→-∞とすると{∞}{∞}の不定形となるから,\ {分母の最高次の項で分母分子を割る.} 最初に{x=-tと置換してt→∞ とする}ことで,\ ミスのリスクを避けることができる. ミスしない自信があるのならば,\ 別解のように解答すれば済む. $x=-t}とおくと x→-∞ のとき  単純にx→-∞とすると,\ ∞-∞の不定形となるから,\ {分子を有理化}する. もしx→∞ならば,\ 有理化せずとも明らかにlim[x→∞](x²+x{x²-2})=∞である. 有理化した後整理すると{∞}{∞}の不定形となるから,\ {分母の最高次の項t²で分母・分子を割る.}
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