無限級数の収束と発散(応用)

次の無限級数の収束・発散を調べ,\ 収束するものはその和を求めよ.無限級数の収束と発散(応用) 本項では,\ $a_n$を階差の形にして和を求める問題の中で,\ 難易度が高めのものを取り扱う. 経験があるかないかで大きな差がつくところである. この無限級数は{発散する.}$} 真数部分を通分した後,\ 対数の性質\ log MN=log M-log Nを用いて分解すると階差の形になる. log₂(n+1)-log₂nのままだと,\ (log₂2-log₂1)+(log₂3-log₂2)+\ となってわかりにくい. そこで,\ あらかじめ-{log₂n-log₂(n+1)}\ に変形してから和を書き下した. 対数の性質\ log M+log N=log MNを用いて合体する別解もある. この無限級数は{収束し,\ その和は18}である.$} 分母を因数分解して公式\ 1}{ab}={1}{b-a}(1a-1b)}を適用すると,\ nが約分されて階差の形になる. \ 分母が3つの因数の積の場合,\ 公式\ 1}{abc}={1}{c-a}({1}{ab}-{1}{bc})}を利用できる. これは階差の形ではないので,\ 書き下しても間が消えてくれない. 実際に書き下してみると,\ ({1}{12}-{1}{24})+({1}{23}-{1}{35})+({1}{34}-{1}{46})+\ である. しょうがないので,\ とりあえず{普通に部分分数分解}することになる. 結果だけならば,\ 数値代入法(両辺のnに式が簡単になる値を代入)を用いると素早く得られる. 分母を払うと 6=A(n+1)(n+3)+Bn(n+3)+Cn(n+1) n=0としてA=2,n=-1としてB=-3,n=-3としてC=1を得る. {両端の項の係数に着目して中央の項を分割}すると,\ 2組の階差の形を作り出すことができる. この無限級数は{収束し,\ その和は2}である.$} $[l} 分母が因数分解できる分数にr^nが掛けられたタイプがまれに出題される. 分子が定数ではないので公式を使っても上手くいかず,\ 普通に部分分数分解することになる. {n+3}{n(n+1)}= An+{B}{n+1}\ とおいて分母を払うと n+3=A(n+1)+Bn n=0としてA=3,n=-1としてB=-2を得る. さらに,\ 展開することでうまく階差の形を作り出せる. もちろんこれは偶然ではなく,\ そうなるように係数を調整して問題を作成したわけである. 0<23<1より\ lim[n→∞](23)^n=0\ であることにも注意して和が求められる. $この無限級数は{収束し,\ その和は1}である.$} 典型問題であり,\ このような変形を覚えておくべきである. 逆に変形すると,\ 成り立つことはすぐにわかる.
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