関数の極限⑤ 三角関数の極限の公式 lim sinx/x=1、lim tanx/x=1、lim(1-cosx)/x²=1/2

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公式の証明が入試に出ることも。

三角関数の極限の公式 のとき  下図の面積について $ oab扇形oab=”” oat$=”” $limx→+0}cos=”” x=”1$であるから,\” はさみうちの原理より $}{三角関数の極限の最重要公式  =”” ${lim[x→0]{sin=”” x}{x}=”1$} $(xはラジアン)$” まず,\=””のとき,\=”” limx→+0}{sin=”” {図の三角形と扇形の面積の関係を元にはさみうちにもちこむ}ことで証明することができる.=”” なお,\=”” x→+0の極限は,\=”” xが右側から0に近づくときの目}標}なので,\=”” {oab}の面積は当然s=”12absinθで求められる.\” 扇形の面積の公式はs=”12r²θである.” 中央が{sin=”” x}{x}となるように,\=”” 各辺の逆数をとり,\=”” さらに各辺にsin=”” xを掛けた後,\=”” 極限にとばす.=”” とき,\=”” 後は単純に数式の処理をするだけでに帰着する.=”” 何とかしてlim[x→0]{sin=”” 分母分子をxで割ればよい.=”” {tan=”” xが含まれる場合,\=”” とりあえずtan=”” x}{cos=”” x}としてみる}とよい.=”” {1-cos=”” xがある場合,\=”” 分母分子に1+cos=”” xを掛ける}(要暗記).=”” sin²x+cos²x=”1も利用して,\” lim[x→0]{sin=”” 後の応用を考えると,\=”” {半角の公式sin²=”” x2=”{1-cos” x}{2}の逆}を利用する別解も重要である.=”” また,\=”” 公式lim[x→0]{sin=”” {lim○→0}{sin○}{○}=”1}と考えておくと応用が利く.” つまり,\=”” ○の部分が等しくなるように変形すると,\=”” 公式を適用することができる.=”” sin○の○の部分は簡単に変形できないので,\=”” {sin○の○に合わせて分母を変形する.}=”” 本問の場合,\=”” {分母に無理矢理=”” x2を作り,\=”” つじつまを合わせる}ことになる.=”” 正確にはlim\frac=”” x2→0}{sin=”” x2}{=”” x2}とすべきだが,\=”” x→0のとき=”” x2→0は明らかなので,\=”” 普通x→0と書く.=”” ここで取り上げた極限を含む以下のものは,\=”” 準公式として暗記が推奨される.\=”” は無断使用してよい.=”” ,\=”” は,\=”” 応用問題では無断使用してもよいと思われるが,\=”” 最低限の途中過程を示すのが安全である.=”” {三角関数の極限の準公式}=”” sinx=”” tan=”” (1-cosx)=”” x²=”” <="" div="">
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