ペル方程式x²-Dy²=±1で定められた数列の極限と平方根の近似値

自然数$n$に対して,\ $a_n,\ b_n$を$(3+22)^n=a_n+b_n2$を満たす自然数として定める.  $a_{n+1},\ b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ.  $(3-22)^n=a_n-b_n2$が成り立つことを示せ.  ${a_n}²-2{b_n}²$の値を求めよ.  ${b}a_{n+1{b_{n+1-2}0,\ b_n>0より 追い出しの原理より 不等式の証明の後に極限とくればはさみうちの原理である. 解けない漸化式のパターン通り,\ 不等式を繰り返し用いた後はさみうちすればよい. 実は,\ 本問は解ける漸化式である.\ よって,\ 普通に解いてから極限にとばしてもよい(別解1). の誘導がなければ,\ むしろ別解1が自然な解法である. 連立漸化式には決まった解法があったが,\ かなり面倒であった. しかし,\ {共役な等式がある場合,\ それを連立するだけで簡単にa_n,\ b_nの一般項が求まる.} {r^n}を含む数列の極限では,\ {分母の公比の絶対値が最大の項で分母分子を割る}のであった. の等式を利用する解法も考えられる(別解2).\ 一般に,\ 等式が1つあれば1文字消去できる. よって,\ a_nを消去してしまえば,\ b_nの極限に帰着する. 漸化式b_{n+1}=2a_n+3b_nの形とa_n,\ b_nが自然数であることを考慮すると,\ b_n→∞は明らかだろう. 一応,\ 解答のようにして厳密に証明することができる. 別解2を一般化すると,\ {a_n}²-D{b_n}²=1のとき,\ lim[n→∞]{a_n}{b_n}= D\ となることがわかる. この事実を知っていると,\ 誘導がなくてもの不等式を作成できる. 解けない漸化式のパターン通り,\ 次のようにして極限値を予想することもできる. {a_{n+1{b_{n+1={3a_n+4b_n}{2a_n+3b_n}={3{a_n}{b_n}+4}{2{a_n}{b_n}+3}\ より,\ c_n={a_n}{b_n}\ とすると c_{n+1}={3c_n+4}{2c_n+3} [-.5zh] c_{n+1}=c_n=αとすると\ α={3α+4}{2α+3}\ であり,\ これを解いてα=2を得る. 極限値が Dの数列ということは Dの近似値を求められることを意味するが,\ 収束は遅い. 2の近似値を実際に求めてみる.\ まず,\ 正確な近似値は\ 21.41421356}\ でs (第2位まで一致) (第4位まで一致)  (第5位まで一致) には,\ 以下の図形的意味があることも知っておきたい(数III}:2次曲線). x²-Dy²=1,\ つまりx²-{y²}{1D}=1\ は,\ 図形的には漸近線y={1}{ D}xの双曲線である.
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