関数の極限④:指数関数と対数関数の極限

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指数関数と対数関数の極限は,\ グラフをイメージして考える. まずは,\ グラフから明らかな基本の8つの極限を確認してほしい. 指数関数と対数関数のグラフは常識であり,\ 瞬時に描けるようにしておかなければならない. 底が1より大きいか小さいかでグラフが大きく変わるので注意する. a>1と01でなければならない. そこで,\ {分母の底が最小の項3^xで分母分子を割る}ことになる. ∞-∞の不定形であるから,\ {r^n}を含む数列の極限の場合と同様,\ {底が最大の項をくくり出す.} 2^{2x+1}=22^{2x}=24^xより,\ 底が最大の項は2^{2x+1}であることに注意する.  単に1x→0ではなく,\ 1x→+0\ (正の値をとりながら0に近づく)であることにまで意識を払う. わかりにくければ,\ 1x=tとおく.\ x→∞のときt→+0より,\ limt→+0}log₂t=-∞\ となる. 1xはx=0で不連続であり,\ {右側極限x→+0と左側極限x→-0が異なる.} よって,\ 場合分けを要する.\ わかりにくければ,\ 1x=tとおく. {1}{(x-1)²}はx=1で不連続だが,\ x1のとき(x-1)²>0である. よって,\ 左側からも右側からも正の値をとりながら∞に発散するので,\ 場合分けは必要ない. {1}{(x-1)²}=tとおくと,\ x→1のときt→∞より,\ limt→∞}(12)^t=0となる. 単純にx→∞とすると∞+log₂(∞-∞)となり,\ このままでは極限を判断することができない. まず,\ 対数の性質\ klog_aM=log_aM^k,log_aM+log_aN=log_aMNを用いて1つの対数にする. すると,\ 真数部分の極限に帰着する.\ 根号を含む∞-∞の不定形は,\ {有理化}が有効であった. {∞}{∞}の不定形となるから,\ {分母の最高次の項 xで分母分子を割る.} 指数関数a^xは,\ {底が1より大きいか小さいかで極限が変わる}ので場合分けを要する. 本問では,\ x→-∞であることにも注意しなければならない. a>1のときlimx→-∞}a^x=0,01のとき0<1a<1よりlimx→-∞}a^{-x}=∞である. また,\ 01より,\ limx→-∞}a^{-x}=0である. a>1のとき{∞}{∞}の不定形となるから,\ {分母の底が最小の項a^{-x}=(1a)^xで分母分子を割る.} a^x a^{-x}=a^{x-(-x)}=a^{2x}であり,\ limx→-∞}a^{2x}=0である. 01),limt→+0}log_at=∞\ (00$のとき $3^x<3^x+2^x<3^x+3^x=23^x$\ より $3<(3^x+2^x)^{\frac1x}<2^{\frac1x}3}$ { }ここで $lim[x→∞]2^{\frac1x}3}=2^03=13=3}$ $はさみうちの原理より lim[x→∞](3^x+2^x)^{\frac1x}={3}$} $[l} 有名問題であり,\ 1つのパターンとして習得しておくとよい. ∞^0の不定形であり,\ {底が最大の項をくくり出す}ことで,\ 不定形を解消できる. はさみうちの原理を用いる別解も考えられる.\ x→∞より,\ x>0として考える. x>0のとき2^x<3^x,x<0のとき2^x>3^xだからである.
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