(等差)×(等比)型の無限級数の収束と発散

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$lim[n→∞]{n}{2^n}=0$となることを示せ. 無限級数$1+32+54+78+$の和を求めよ. {${(等差)(等比)}$型の無限級数の収束と発散 $(等差)(等比)$型の数列の和の求め方は,\ 数Bの数列で学習済みである. 公比を掛けたものをずらして引くと等比数列の和に帰着するのであった. これを計算して極限にとばせば無限級数の和が求まるわけだが,\ 1つ問題が生じる. $nr^n$型の極限が現れるのである.\ これを求められるかが,\ 本パターン習得の鍵である. 最初から与えられていることもあれば,\ 何らかの誘導があったりと問題によって様々である. しかし,\ 根本的に重要なことは,\ {誘導なしでこの極限を求められるようにしておく}ことである. nr^n型の極限は,\ {二項定理を途中で打ち切ってできる不等式ではさみうち}するのであった. 分子にnがある状態で0に収束させるには,\ 2^nを2次以上の項で評価すればよい. そこで,\ C n2を取り出したわけである. C n2はn=1で定義されないので,\ n2とする.\ n→∞とするから,\ n=1は考えなくてよい. 等差数列{2n-1}:1,\ 3,\ 5,と等比数列{({1}{2})^{n-1:1,\ 12,\ 14,の積である. 公比12を掛けたものをずらして引くと,\ 初項1,\ 公比12,\ 項数n-1の等比数列の和が現れる. 第1項目も含めて等比数列の和とみなせることもあるが,\ 本問は含めることはできない. 整理してS_nを求めた後,\ 極限にとばせばよい. nr^n=0$となることを示せ. 無限級数$Σnx^{n-1}$の収束と発散を調べ,\ 収束する場合はその和を求めよ. [-.8zh]  $h>0,\ n2$のとき はさみうちの原理より\ 第$n$項を$a_n$,\ 部分和を$S_n$とする.h] { }  {(ii)} $lim[n→∞]n=∞$であるから,\ 追い出しの原理より $lim[n→∞]nx^{n-1=∞$ { }  {(ii)} 数列${a_n}$が0に収束しない}から,\ 無限級数$Σnx^{n-1}$は発散する. ${ \ x<1のとき収束して,\ その和は\ {1}{(1-x)²} \ x1のとき発散する. \end前問では,\ 2^n=(1+1)^nと考えて二項定理を適用した. 一般には,\ r>1ならばr=1+h\ (h>0)として二項定理を適用する. 二項定理を途中で打ち切った不等式を作るためには,\ h>0である必要があることに注意する. h>0ならば{常にC nkh^k>0}であるから,\ (全体)>(一部)とできるのである. 本問は-11より,\ {1r=1+h\ (h>0)}とおける. つまり,\ r={1}{1+h}\ (h>0)とおくことになる. ただし,\ 本問は-10)\ とおくのが有効というわけである. 公比xを掛けたものをずらして引くと,\ 初項1,\ 公比x,\ 項数nの等比数列の和に帰着する. 第1項目の1も含めて等比数列の和とみなせるので,\ 項数がnになることに注意してほしい. また,\ {公比が文字のとき,\ 等比数列の和の公式は場合分けを要する.} a+ar+ar²++ar^nの公式 r=1のときS_n=na, r1のときS_n={a(1-r^n)}{1-r} x<1のとき,\ lim[n→∞]x^n=0,\ よりlim[n→∞]nx^n=0より,\ lim[n→∞]S_nは収束する. また,\ {x^n}は,\ x-1のとき振動,\ x>1のとき無限大に発散する. 各場合をそれぞれ考えることもできるが,\ やってみると思いの外面倒である. そこで一般項a_nに立ち戻って考えると,\ 次の定理があるので発散することがほぼ明らかである.  {「数列{a_n}が0に収束しない無限級数Σa_nが発散」} 忘れがちだが,\ 発散の証明として利用できる機会は少なくない. {収束・発散の判断では,\ 常に一般項a_nが0に収束するかにも意識を払っておく}必要がある. さらに,\ 「lim[n→∞]a_n=0lim[n→∞]a_n}=0」も考慮すると,\ 場合分けも必要なくなる. lim[n→∞]a_n}=lim[n→∞]n x^{n-1}0\ さえ示せば,\ 無限級数が発散するといえるからである. 結果的には,\ 最初から x<1と x1に場合分けして解答してもよかったことがわかる.
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