関数の極限⑥:三角関数の極限(基本)

{三角関数の極限(基本) 三角関数の極限の公式   ${lim[x→0]{sin x}{x}=1$} $(xはラジアン)$ の不定形である.$ よって,\ 三角関数の極限において${00}$の不定形となることが公式適用の目安となる. 三角関数の極限だからといって常に公式を利用するわけではないので注意してほしい. 例えば,\ 公式を使わずとも$lim[x→0]xsin x=00=0$である($x=0$を入れただけ). また,\ 常に$x$とは限らないので,\ 公式は${lim○→0}{sin ○}{○}=1$と考えておくとよい. ただし,\ ${x→0のとき○→0となることが適用条件$なので注意してほしい. $x→0のとき○→0$とならないならば,\ $00$の不定形ではないので公式を使う意味がない. .98}{例えば,\ 公式を使わずとも$lim[x→0]{sin(x+π)}{x+π}={sinπ}{0+π}={0}{π}=0$である($x=0$を入れただけ).} \ 00の不定形であるから,\ {sin○}{○}または{○}{sin○}への変形を目指す. tan x={sin x}{cos x}を適用し,\ さらに分母に2x,\ 分子に3xをおいてからつじつまを合わせればよい. lim[x→0]{tan x}{x}=1も公式として利用するならば,\ 別解のようになる. さて,\ lim[x→0]{sin x}{x}=1,\ lim[x→0]{tan x}{x}=1は,\ x0のときsin x x,\ tan x xであることを意味する. これを利用すると,\ x0のとき,\ {sin2x}{tan3x}{2x}{3x}=23のようにして瞬時に極限を予想できる. $[l} 00の不定形だが,\ 公式のxはラジアンなので度のままでは使えない. 180°=π\ なので1°={π}{180}であり,\ それゆえ x°={π}{180}x である. まず,\ 問題が{sin x(1-cos x)}{x²}ではなく,\ {sin(1-cos x)}{x²}であることに注意してほしい. 00の不定形であるから,\ 公式{sin○}{○}の形を目指して変形する.\ 1-cos xが○である. よって,\ 1-cos xを分母においた後,\ つじつまを合わせることになる. 1-cos xを含み00の不定形となる極限では,\ 分母分子に1+cos xを掛けるのであった. lim[x→0]{1-cos x}{x²}=12を公式として用いるならば,\ lim[x→0]{sin(1-cos x)}{1-cos x}{1-cos x}{x²}=112で済む. さて,\ lim[x→0]{1-cos x}{x²}=12は,\ x0のとき1-cos x12x²であることを意味する. x0のとき,\ sin x xも利用すると,\ {sin(1-cos x)}{x²}{sin12x²}{x²}{12x²}{x²}=12と予想できる. 00の不定形で,\ 和積公式cos A-cos B=-2sin{A+B}{2}sin{A-B}{2}によって公式に帰着する. 和積・積和公式を覚えていない学生が多いが,\ {数III}では必須}と考えておくべきである. lim[x→0]{1-cos x}{x²}=12を公式として用いるならば,\ 別解のような変形も自然である. 00の不定形であり,\ tan x={sin x}{cos x}を用いて変形・整理していけばよい.\ 1-cos xが現れるので,\ 分母分子に1+cos xを掛ける.\ なお,\ 分割して考えるのは悪手である. 00の不定形であり,\ 公式の形を作るために{分母分子をxで割る.}
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