数列の極限⑥:無限等比数列rnを含む極限

{r^n}は一見すると無限大に発散しそうだが,\ rの値によって極限が変化する. 2^n→∞,(12)^n→0,(-2)^n:振動する 前ページの証明はr>1と01のとき r=1+h\ (h>0)とおくと r^n=(1+h)^n=C n0+C n1h+1+nh {r>1のとき} lim[n→∞](1+nh)=∞ より lim[n→∞]r^n=∞ (追い出しの原理) \ r=-1のとき -1,\ 1,\ -1,\ 1となるから振動する. {r<-1のとき} しかし,\ r^nの符号は交互に正負となるから,\ {r^n}は振動する. 教科書などには\ 「r-1のとき振動する」とまとめて書いてある. しかし,\ 応用上次の違いが重要になるので,\ {r=-1とr<-1を分けて考える}のがよい. (収束する) \(発散する) {r^n}の極限は,\ 事実上5つに分類できるわけである. $r^n$を含む極限計算における主な変形が2つある.\ 整式や分数式の極限計算と同様である. l} 公比の絶対値が最大の項でくくり出す. 分母の公比の絶対値が最大の項で分母・分子を割る.} {公比の絶}対}値}が最大の項である5^nをくくり出す.} 本問は,\ 発散速度が5^n\gg2^nであることを意味している. n→∞ の世界では,\ 5^nに比べると2^nは無同然なのである. {分母の公比の絶対値が最大である5^nで分母・分子を割る.} 指数部分が異なるものが混在してわかりにくいので,\ まず{指数部分をnに統一}した. \] そして,\ {分母の公比の絶対値が最大の項( 5)^nで分母分子を割る}(2<5<3). これで分母は1に収束するが,\ 分子はまだ∞-∞の不定形である. そこで,\ {公比の絶対値が最大の項({4}{5})^nをくくり出す}と,\ {∞(2-30)}{1-120}=∞\ と求まる.
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