高校数学Ⅲ 複素数平面

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複素数は平面上の点とみなすことができる。これにより、複素数を図形的に考えることが可能になる。逆に、図形を複素数で考えることも可能になる。

新しい考え方に最初は戸惑うかもしれないが、学習を進めていくと複素数平面の意義がわかってくる。

複素数の単純計算については、数Ⅱの複素数と方程式分野で学習済みである。また、図形的考察においてはベクトルの知識が重要になる。

高校数学において複素数平面の最も大きなメリットは、回転移動に強いことである。20年前と異なり、現在は行列を学習しなくなったため、図形の回転移動は複素数平面で考えるしかない。三角関数で考えられなくもないが、複素数平面に比べるとかなり面倒になる。

複素数平面の問題の解法は大きく4つに分けられるので、それぞれのメリット・デメリットを理解し、使い分けることになる。

  1. zのまま処理する。簡潔に済むことが多いが、複素数平面特有の変形に慣れが必要になる。
  2. 極形式(複素数の極座標表示)を利用する。回転とn乗に強いが、三角関数の計算が大変になることが多い。
  3. 図形的意味を考える。簡潔に済むが、式と図形の対応関係の深い理解を要する。
  4. z=x+yiとして計算する。万能に近いが、計算量がかなり多くなる。

数Ⅲの学習はどうしても微分・積分が中心になるため、複素数平面の学習は不足気味になっている学生が多い。しかし、大学入試での出題率が低いわけではないので、しっかりと学習しておくことを推奨する。


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