方程式の実数解と虚数解

x²-x+2a=0\ が絶対値1の解をもつように実数aの値を定めよ.$ [-.8zh] { 方程式の実数解と虚数解  実数解をもつ}とき,\ $ x=1\ より\ x=1}$\ である.     $x=1}\ のとき \ 1-1+2a=0 より a=0}$     $x=-1}\ のとき 1+1+2a=0 より a=-1}$  虚数解をもつ}とき,\ 判別式\ $D=1-8a<0\ より a>18}\ $     2つの虚数解を$α,\ α$とすると,\ 解と係数の関係}より $αα=2a}$ $[l} 複素数平面上で方程式の解を考察するとき,\ {実数解と虚数解で場合分け}するのが基本である. 実数解の場合は解の間には何の関連性もないが,\ {虚数解の場合は互いに共役}となるからである. 実数解と虚数解では,\ 解と係数の関係の扱いも違ってくる. 実数係数の2次方程式\ ax²+bx+c=0\ の異なる2解を\ α,\ β\ とする. このとき,\ {解と係数の関係\ α+β=- ba,αβ= ca}\ が成立する. 2解\ α,\ β\ が実数であればこれで終わりだが,\ 虚数解の場合には続きがある. 虚数解ならば\ α,\ β\ は互いに共役であるから,\ {β=α}\ とおける. よって,\ {α+α=- ba,αα=α}²= ca}\ が成立する. 実数解ならば絶対値が1になるのは\ x=1\ の場合のみなので,\ 各場合についてaを求めればよい. 虚数解の場合,\ {虚数解をもつ条件(D<0)を確認した上で解と係数の関係を利用}する. α=α}\ なので,\ α}=1\ になるように実数aを定めさえすればよい. 実際には,\ 解と係数の関係を利用するため,\ α}²=1\ と考える. 解と係数の関係を利用しない別解も示しておく. 直接的に\ x}²={c}+{d²=c²+d²=1\ と計算する方法である. {-2}=2i\ と同様,\ 1-8a<0\ のとき\ {1-8a}={8a-1}i\ となる点に注意. $kを実数として,\ 2次方程式\ x²+2kx+3k=0\ の2つの解をα,\ β\ (αβ)\ とする.$  $α-i}²+β-i}²\ の値をkを用いて表せ.$  $複素数平面において,\ 複素数\ α,\ β,\ i\ を表す点をそれぞれ{A,\ B,\ P}とする.$ { }$∠{APB}が直角になるようなkの値を求めよ.           [九州大]$ [-.8zh]  解と係数の関係より $α+β=-2k,αβ=3k}$  判別式\
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