ド・モアブルの定理と三角関数の和 Σcoskθ、Σsinkθ

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z1$のとき$1+z+z²++z^n={1-z^{n+1{1-z}\ (n:自然数)$が成り立つことを\ 利用し,\ 以下の等式が成り立つことを示せ.\ ただし,\ $sin{θ}{2}0$とする. {ド・モアブルの定理と三角関数の和 ド・モアブルの定理より \(k:自然数)$ $$との実部と虚部は一致するから,\ とが成り立つ. 等比数列の和の公式においてz=cosθ+isinθ\ とし,\ 両辺の実部と虚部を比較するだけである. 左辺は,\ ド・モアブルの定理を適用すると容易に等式の形が現れる. しかし,\ 右辺は三角関数の各種公式を適切に利用して変形していかなければ面倒なことになる. 1-cos(n+1)θと1-cosθ\ には,\ 半角の公式\ sin²{θ}{2}={1-cosθ}{2}\ の逆を適用する. sin(n+1)θとsinθには,\ 2倍角の公式\ sin2θ=2sinθcosθ\ を適用する. すると共通因数ができるので,\ くくり出すことができる. このとき,\ {-2iをくくり出して括弧の中身を極形式の形にする}のが最大の変形ポイントである. 後は,\ 次の法則を利用してまとめればよい . 同種の変形を要する問題は他にもあるので,\ 習得しておきたい変形である. 複素数を利用せずに数列のみで証明する別解も重要である. 分母をはらった\ を示す. まず,\ sin{θ}{2}\ はkとは無関係の定数であるから,\ 逆にΣk=0}{n}の中に入れることができる. 積和公式\ cosαsinβ=12{sin(α+β)-sin(α-β)}\ により,\ {階差の形f(k+1)-f(k)}にできる. {階差の形の和は,\ 順に書き出すと中央がすべて消えて端だけが残る}ことで求まるのであった. sin(-θ)=-sinθ\ を適用し,\ 和積公式\ sin A+sin B=2sin{A+B}{2}cos{A-B}{2}\ で積に戻す. 最後,\ cos(-θ)=cosθ\ も適用すると目的の式が得られる. Σsin kθ\ も同様である.積和公式\ \ 和積公式\ \
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