4点が同一円周上にある条件(共円条件)

複素数平面上の4点A($i$),\ B($-i$),\ C($4-i$),\ D($3+2i$)が同一円周上にあることを示せ. 4点が同一円周上にある条件 $α=i,β=-i,γ=4-i,δ=3+2i$とおく. 点Cと点Dは直線ABに関して同じ側にある.} 点Aと点Cは直線BDに関して異なる側にある.} ∠ ACB=∠ ADB}\ (円周角の定理の逆)}(左図)や{対角の和がπ}(右図)であることを示せばよい. 複素数平面においてなす角を考えるとき,\ {回転の向きに注意する}必要がある. $arg{β-γ}{α-γ}がCA}からCB}へ反時計回りに測った角である.$ {図で4点の位置を確認}した上で,\ 0<偏角<πとなるように{β-γ}{α-γ}を考えたわけである. $arg{α-γ}{β-γ}とすると,\ CB}からCA}へ反時計回りに測った角となり,\ 後の処理がややこしくなる.$ $同様にDA}からDB}へ反時計回りに測った角も求めると,\ 偏角が等しいことが示される.$ {∠ ACB=∠ ADBでも,\ 点C,\ Dが直線ABに関して異なる側にあると同一円周上ではなくなる.} そこで,\ 一番最初に断っておいたわけである. もっとも,\ 偏角の符号を考慮すると,\ arg{β-γ}{α-γ}=arg{β-δ}{α-δ}さえ示せば同じ側にあるといえる. 実際,\ 異なる側にあるとarg{β-γ}{α-γ}=arg{β-δ}{α-δ}が成り立つことはない. arg{β-γ}{α-γ}=-arg{β-δ}{α-δ}ならば成り立ちうる. 別解は対角の和がπであることを示すものである.\ やはり,\ 回転の向きに注意を要する. $AB}からAD},\ およびCD}からCB}へ反時計回りに測った角を考えるべきである.$ {arg z₁+arg z₂=arg z₁z₂}\ を適用して計算することになる.  -2=2({π}) {∠ BAD+∠ DCB=πでも,\ 点A,\ Cが直線BDに関して同じ側にあると同一円周上ではなくなる.} もっとも,\ 回転の向きが逆なので,\ 同じ側にあると偏角の和がπになることはない. 4点A,\ B,\ C,\ Dが同一円周上にある条件を一般化する. 異なる4点A,\ B,\ C,\ Dがこの順で同一円周上}にあるとき { }異なる4点A,\ B,\ D,\ Cがこの順で同一円周上}にあるときも同様である. 異なる4点A,\ C,\ B,\ Dがこの順で同一円周上}にあるとき  異なる4点${A(α),\ B(β),\ C(γ),\ D(δ)}$が一直線上にないとき     ${4点A,\ B,\ C,\ Dが同一円周上にある{(β-γ)(α-δ)}{(α-γ)(β-δ)}\ が実数}$ {「4点A,\ B,\ C,\ Dがこの順で同一円周上」は,\ 反時計回りか時計回りかの2パターンがある.} どちらにしても,\ その条件は\ arg{β-γ}{α-γ}=arg{β-δ}{α-δ}\ と立式できる. 左図の場合には左辺と右辺は正,\ 右図の場合には左辺と右辺は負となる. また,\ 円周角の定理であるから,\ {点Cと点D}の順序が入れ替わっても同じである. {arg z₁-arg z₂=arg{z₁}{z₂\ を適用するとまとめられる. }{「4点A,\ C,\ B,\ Dがこの順で同一円周上」にも,\ 反時計回りか時計回りかの2パターンがある.} 左図の場合の対角の和は-π,\ 右図の場合の対角の和はπとなる. 最終的に,\ 「{(β-γ)(α-δ)}{(α-γ)(β-δ)}\ が実数」とまとめられる. β=γやα=δのときも0(実数)となってしまうので,\ 「異なる4点」としている. ここで,\ 3点{A(α),\ B(β),\ C(γ)}が一直線上にあるとき,\ 「{β-γ}{α-γ}\ が実数」である. 同様に,\ 3点{A(α),\ B(β),\ D(δ)}が一直線上にあるとき,\ 「{α-δ}{β-δ}\ が実数」である. 結局4点{A,\ B,\ C,\ D}が一直線上にあるときも\ {(β-γ)(α-δ)}{(α-γ)(β-δ)}\ が実数となるので,\ 除外している.
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