複素数平面上の直線の方程式(垂直二等分線と円の接線の方程式)

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傾きが と平行な直線の方程式 \ 数学的には,\ 直線を含むすべての図形は条件を満たす点の集合である. 直線上の任意の点zが満たすべき条件を数式で表せば,\ それが直線の方程式である. {1点と傾きが定まれば1本の直線が定まる.} 1点A}(a)と方向ベクトルdによる直線のベクトル方程式\ p=a+td\ と全く同じである. ただし,\ 複素数平面では{媒介変数tを使わない表現}に変換できる. {z=(実数)z= z}\ を利用するわけである. 上の式をさらに変形していくと,\ {複素数平面における直線の方程式の一般形}が得られる. よって,\ {αβ-αβ=γ\ (純虚数)}とおいて,\ 直線の方程式の一般形\ {β z-β z-γ=0}\ が得られる. これは座標平面上の直線の方程式の一般形\ ax+by+c=0\ に相当する式である. しかし,\ {zと zの係数が共役(β,\ β)で,\ かつ\ γ\ が純虚数}という制限に注意する. 例えば,\ 1点α={2}+{3}を通り,\ 傾きがβ={1}+{2}である直線の方程式は次となる. ({1}-{2})z-({1}+{2}) z+2i=0  逆にこの式を見て直線であることに気付けるかも重要である.  2点を通る直線の方程式 {1点A(α)を通り,\ 傾きがAB}=β-α\ と平行な直線の方程式}と考えるとと同じである. {3点\ α,\ β,\ z\ が同一直線上にある条件(共線条件)}と考えてもよい. [.2 p=a+td 媒介変数tを用いずに直線を表現できる. 2点を結ぶ線分の垂直二等分線は,\ {2点からの距離が等しい点の集合}としてとらえられる. 次の方程式を満たす点$z$は複素数平面上でどのような図形を表すか. ${2点13-i\ と\ -23i\ を結ぶ線分の垂直二等分線}$} $[l} 式を見て瞬時に[4]のパターンであることに気付きたい. 後は両辺を3で割って\ z-α}=z-β}\ の形に変形するだけである. %$x-2y+2xi+yi+(x-2y-2xi-yi)-3=0$ { }よって $2x-4y-3=0}$ { }この直線は座標平面において2点$(32,\ 0),\ (0,\ -34)$}を通る. 一般形から逆に\ {z-α}{β-α}=t\ (実数)\ まで遡るのは容易ではない. 式を見て直線に気付けば,\ {z={x}+{y}\ とおいて座標平面に帰着させる}のが確実で手っ取り早い. 複素数平面上において,\ 原点を中心とする半径$r$の円周上の点A($α$)における円の 接線の方程式を求めよ. 求める方程式は,\ 点A($α$)を通り,\ 傾きが$OA}$}\ と垂直な直線の方程式であるから ${z-α}{α}=(0または純虚数) [3]のβをαとするだけである. 変形していくとααが現れるので,\ これを半径rで表せばよい. 座標平面で,\ 原点中心,\ 半径rの円周上の点(a,\ b)における接線の方程式はax+by=r²であった. z=x+yi,\ α=a+biとすると (a+bi)(x-yi)+(a-bi)(x+yi)=2r² 整理すると2ax+2by=2r²    つまり,\ ax+by=r²となり,\ 一致する.
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