ド・モアブルの定理と累乗の等式を満たす整数

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最後の(m,n)=(24,12)は、(m,n)=(12,24)の誤りですm(_ _)m

(1+3i)^n$が実数となるような自然数$n$のうち,\ 最も小さいものを求めよ. $(1+i)^n=(1-i)^n$を満たす100以下の自然数$n$の個数を求めよ. $(1+3i)^m=(1+i)^n$を満たす自然数$(m,\ n)$のうち,\ $m+n$が最も小さくなる ド・モアブルの定理と累乗の等式を満たす整数 { }実数となる条件は $sin{nπ}{3}=0$ より ${nπ}{3}=kπ(k:整数)}$ { }よって $n=3k$ より $最小の自然数は {n=3}(k=1のとき)$ n乗であるから,\ {極形式に変形してド・モアブルの定理を適用}する. ド・モアブルの定理 ({θ})^n={nθ} sinθが0となるθは\ ,\ -2π,\ -π,\ 0,\ π,\ 2π,と無限にある. これらをkπ\ (k:整数)と表すとnが求まるので,\ 条件を満たすnを答えればよい. 最小の自然数nを求めるのならば,\ {n=1から順に計算していく}という単純な方法もある(別解). もちろん常にうまく見つかるとは限らないのでリスクもあるが,\ これでも立派な解答である. { }$n$は自然数より$k$は3の倍数}であるから ${25個}$ 左辺と右辺をそれぞれ極形式にして{絶対値と偏角}を比較する.\ 本問では絶対値は一致している. 偏角の比較では,\ 2kπ\ (k:整数)がつくことに注意する. さらにkの範囲を絞り込み,\ nが自然数となるようなkの個数を答える. 範囲内にある3の倍数は,\ -75=-325から-3=-31までの25個である. 絶対値と偏角をそれぞれ比較すると,\ mとnの連立方程式となる. mとnは自然数なのでm1,\ n1,\ つまりm+n2である. よって,\ k=-1のときm+nは最小値36をとる.
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