複素数の積・商と極形式

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極形式の複素数の積を計算してみる.\ 単純に展開して整理し,\ 加法定理を逆に用いてまとめる. すると,\ {(積の絶対値)=(絶対値の積),\ (積の偏角)=(偏角の和)}\ となることがわかる. 商の絶対値・偏角も積のように地道に計算してもよいが,\ 積をうまく利用すると次が簡潔に導かれる. {(商の絶対値)=(絶対値の商),\ (商の偏角)=(偏角の差)} 偏角の計算は対数の計算と同様である. log MN=log M+log N,log MN=log M-log N %さて,\ 偏角についての等式は,\ 両辺の角が2nπ(n:整数)の差を除いて一致することを意味する(一意に定まらない). $z=({1}-{√3})({2}-{2})$を極形式で表せ.\ ただし,\ 偏角$θ$は$0θ<2π$とする. $z=1}+{1√3}-{1$を極形式で表せ.\ ただし,\ 偏角$θ$は$0θ<2π$とする. { }極形式との実部・虚部を比較すると 極形式にしてから計算するか,\ 計算してから極形式にするかの2通りの解法が考えられる. 可能ならば,\ 極形式にしてから計算するのが楽である.\ rを掛け(割り),\ θを足す(引く)だけになる. 最後,\ θが範囲内になるように調整するのを忘れない. 極形式と単純計算の結果を比較することで三角比の値を求めることができる. では,\ {5}{12}π=75°の正弦と余弦が求まったわけである. 元々極形式の積は加法定理なので,\ cos75°=cos(45°+30°)\ を計算するのと本質的に変わらない. 普通に代入して計算しようとしても求まらない.\ 極形式の計算後に代入する. ここで,\ cos3θ-isin3θ\ などは極形式ではないからまず極形式に変形する必要がある. このとき,\ {cos(-θ)=cosθ,sin(-θ)=-sinθ}\ に着目する. 一般に,\ cosθ-isinθ={(-θ)}\ とできるわけである. なお,\ rはすべて1であるから無視できる. まず極形式のまま計算して式を簡単にする.\ 実数条件は\ {(虚部)=0}\ である. sinが0となる角を求めるわけだが,\ 無数にあるから範囲の確認が必要である. 三角形であるための条件「{角の和が180°}」を組み込んだ上で範囲を考える. このとき,\ 180°-20°<180°-2C<180°-2180°\ としてはいけない. 一旦-2を掛けて0°>-2C>-360°,\ つまり-360°<-2C<0°\ とした後,\ 180°を各辺に足す. この範囲でsinが0になるのは0°のときのみである. 三角形の形を問われて直角三角形となるとき,\ {どの角が直角かも答える}こと.
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