反転変換w=1/zによる像

当ページの解説は次のページの内容の理解を前提としています。

反転変換は数IIの図形と方程式分野で一度学習した.\ 基本事項を再確認する. 定点Oを中心とする半径$r$の円がある. .94}{Oと異なる点Pを,\ Oを端点とする半直線OP上にあり,\ $OP OQ=r²}$となる点Qに移す.} この変換を反転といい,\ Oを反転の中心,\ $r$を反転の半径,\ 円Oを反転円という. 反転変換は,\ いうなれば円に関する対称移動である. まず,\ {OP=r\ のときOQ=r}\ である. これは,\ {円周上の点は円周上に同じ点移される(動かない)}ことを意味する. 直線に関する対称移動において,\ その直線上の点が移動しないのと同じである. また,\ {OP={r²}{OQ\ より,\ 線分{OPと線分OQの長さは,\ 逆数のような関係にある.} よって,\ 点Pと点Qは,\ 一方が円の内部にあれば,\ 他方は円の外部にある. さらに,\ 点Pと点Qは,\ 一方が原点に近づくほど他方は無限遠まで離れていく. つまり,\ {円の内部の中心は,\ 円の外部の無限遠に対応する.} }]$ 反転変換は,\ 次の性質をもつことが知られている.\ 後で証明する. ${ 原点を通る直線}   → 原点を通る直線(自分自身)} 原点を通らない直線 → 原点を通る円 原点を通る円    → 原点を通らない直線 原点を通らない円}  → 原点を通らない円} 原点をOとする複素数平面上の点P($z$)に対し,\ Oを始点とする半直線OP上に ${OP OQ}=1$となるように点Q($w$)をとる.\ ただし,\ $z,\ w$は0ではない.  $w={1}{ z}$となることを示せ. [1.3zh]  点P($z$)が以下の式を満たすとき,\ 点Q($w$)が描く図形を答えよ. 半直線OP上にQがあるから $w=kz\ (k:正の実数)}$ \f{原点と点1を結ぶ線分の垂直二等分線}を描く.}bm{中心1,\ 半径1の円}を描く.\ ただし,\ {原点は除く.}$}点0と点12を2:1に内分する点13と外分する点1を直径とする円}を描く.$ ${中心23,\ 半径13の円}を描く. 3点{O,\ P,\ Q}が一直線上にある条件は,\ ベクトルと同様に実数kを用いて表せる. 本問では半直線の点なので,\ kは正の実数である. 条件{OP OQ}=1を考慮するとkが求まり,\ wをzで表せる. wが描く図形を求めるには,\ z=g(w)の形にしてzの方程式に代入すればよいのであった. z=x+yi,\ w=X+Yiとすると x+yi={1}{X-Yi}={X}{X²+Y²}+{Y}{X²+Y²}i よって,\ 座標平面ではx={X}{X²+Y²},\ y={Y}{X²+Y²}\ という変換式となる. 複素数平面で反転を考えると,\ z={1}{ w}\ という簡潔な変換で済むわけである. {(ア)}{z-α}=r}が描く図形は,\ 中心\text A(α),\ 半径rの円であった. {(ア)}(ア)の反転図形は(イ),\ (イ)の反転図形は(ア)であることも確認しておいてほしい. {(ア)}z-α}=z-β}=m:n(m>0,\ n>0,\ m n)が描く図形が次である. {(ア)}{2点{A(α),\ B(β)}を結ぶ線分のm:nの内分点と外分点を直径とする円(アポロニウスの円)} {(ア)}m=nのとき,\ (ア)のように垂直二等分線を描く. {(ア)}内分点 {10+212}{2+1}=13   外分点 {-10+212}{2-1}=1 最初に述べた性質を示すため,\ 少しだけ準備する. 方程式${az z+β z+β z+c=0\ (a,\ c:実数,\ β:複素数)$が表す図形を考える. 整理すると $2px+2qy+c=0$ これは,\ 直線の一般形$Ax+By+c=0\ (A,\ B:実数)$である. $a0$のとき,\ 両辺を$a$で割ると  以上を踏まえ,\ が反転変換$w={1}{ z}$によってどのような図形に移るかを考える. \ [A]が原点を通る直線を表すとき { [A]}よって,\ 原点を通る直線は,\ その直線自身に移る.} [B]が原点を通らない直線を表すとき {原点を通らない直線は,\ 原点を通る円に移る.} [C]が原点を通る円を表すとき $a0,\ c=0}$である. \ { [A]}よって,\ 原点を通る円は,\ 原点を通らない直線に移る.} [D]が原点を通らない円を表すとき原点を通らない円は,\ 原点を通らない円に移る. [\text A]Ax+By+c=0が原点を通るとき,\ c=0である. [\text B]中心-{β}{c}で半径が{β}{cならば,\ この円は原点を通るはずであるの円となるから,\ 原点を通る. {[\text C]}a0であるから,\ β w+β w+a=0は原点を通らない. ,\ この円は原点を通らない. 試験では,\ 反転もどき\ w=1z\ が出題されることも多い. zrightarrow zはx-yirightarrowx+yiのことであるから,\ 図形的には実軸に関する対称移動である. つまり,\ {w=1zは,\ 反転変換w={1}{ z}と実軸に関する対称移動の合成変換}である. さて,\ 反転変換による図形の移動は,\ 直線だの円だのが紛らわしい. 実は,\ 直線を半径が無限大の円とみなす考え方がある. こう考えると,\ {反転変換は円を円に移す(円円対応である)}と簡潔に述べることができる. 実軸に関する対称移動は本質的ではないので,\ w=1zもw={1}{ z}も同様の円円対応である.
タイトルとURLをコピーしました