反転(円に関する鏡像変換)

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(4)の問題が(x-1)²+(y-1)²=1となっていますが、(x-1)²+(y-1/2)²=1/4の誤りですm(_ _)m

inversion

以下はGeoGebraによる作図です。

  1. 点Aを動かしてみる。
  2. 直線BCを動かしてみる。点B、点Cを動かすと直線の傾きを変更できますし、点B、点C以外の部分をもつと直線全体を動かすことができます。直線が原点を通るように移動するとどうなるでしょう。都合上、点Bが原点に合わせやすいです。
  3. 円Dを動かしてみる。点E、点F、点Gを動かすと円の半径を変更できますし、点E、点F、点G以外の部分をもつと円全体を動かすことができます。円が原点を通るように移動するとどうなるでしょう。都合上、点Eが原点に合わせやすいです。
原点Oと異なる点Pに対し,\ Oを端点とするPを通る半直線上にあり, ${OP OQ}=4$\ を満たす点Qを考える. 点Pが次の図形上を動くとき,\ 点Qの軌跡を求めよ. \ 原点を通る直線   $y=12x (原点を除く)$ \ 原点を通らない直線 $2x+y-6=0$ \ 原点を通る円    $(x-23)²+(y-13)²={5}{9} (原点を除く)$ \ 原点を通らない円  $(x-1)²+(y-1)²=1$  定点Oを中心とする半径$r$の円がある.  .96}{$Oと異なる点Pを,\ 半直線OP上にあり,\ {OP OQ=r²となる点Qに移す.}$}  このとき,\ 点Pと点Qはこの円に関して対称である.  このような変換を「反転」といい,\ $O}を反転の中心,\ rを反転の半径}$という.  この変換は,\ 次のような図形的意味をもつ. まず,\ {OP=r\ のとき,\ OQ=r\ である.} これは,\ {円周上の点は円周上に移される(動かない)}ことを意味する. 直線に関する対称移動においても,\ 直線上の点が移動しないのと同じである. また,\ {OP={r²}{OQ\ より,\ 線分{OPと線分OQの長さは,\ 逆数のような関係にある.} よって,\ 点Pと点Qは,\ 一方が円の内部にあれば,\ 他方は円の外部にある. さらに,\ 点Pと点Qは,\ 一方が原点に近づくほど他方は無限遠まで離れていく. つまり,\ {円の内部の中心は,\ 円の外部の無限遠に対応する.}  「反転」といっても,\ 結局は座標平面上の変換である.  よって,\ 解法は,\ 他の変換と全く同じ「逆に解いて元の条件に代入」である. {Q}(X,\ Y)の集合(未知)が求める軌跡である. 今,\ {P}(x,\ y)の集合と,\ 2点{P,\ Qの関係式\ OP OQ=4}が既知である. 集合{Q}(未知)は,\ {(x,\ y)を(X,\ Y)で表して}集合{P}(既知)に代入}して求まる. 半直線上にある条件はベクトルで考えるとわかりやすい. ここで,\ もし\ OQ}=kOP}\ とすると,\ (X,\ Y)=(kx,\ ky)\ となる. すると,\ 後で(x,\ y)=に変形する必要があり,\ 二度手間である. よって,\ {最初から(x,\ y)=となるよう\ OP}=kOQ}\ とする.} 後は,\ {OP OQ=4}からkを求めると,\ (x,\ y)が(X,\ Y)で表される. 早い段階で,\ {(x,\ y)(0,\ 0)\ と\ (X,\ Y)(0,\ 0)\ を確認}しておくこと. が導かれる. {OP OQ=r²}\ において,\ {2点P,\ Q}が対等であることを考えれば当然である. 上では早い段階で成分にしたが,\ 最後までベクトルのままいくとスマートである. つまり,\ OP}=({OP}の長さ)(OQ}の単位ベクトル)\ として計算していく. {求まる直線は原点を通るので,\ これを除外する.} 一般に,\ {原点を通る直線は,\ 原点を通る直線(自分自身)に移される.} (原点を除く)}$} {求まる円は原点を通るので,\ これを除外する.} 一般に,\ {中心を通らない直線は,\ 中心を通る円に移される.} 直線の無限遠が円の中心に向かって丸まってくるのをイメージできるだろうか. 円の中心は,\ 円の外部の無限遠と対応しているのである. 安易に分母を払わない}直線\ 2x+y-6=0}$} 代入後の式変形が少し厄介であり,\ 手順を間違えると大変になる. 展開後,\ {分母が同じ項をまとめる}と約分できる.} その後,\ 両辺にX²+Y²を掛けて整理する. 一般に,\ {原点を通る円は,\ 原点を通らない直線に移される.} 本問の反転前の円は,\ の反転後の円である. {OP OQ=r²}\ という変換において,\ {点P,\ Q}は対等である. よって,\ {点Pが点Qに移るとき,\ 点Qは点Pに移る.} ゆえに,\ 本問は,\ の逆の変換を行ったことになる. 一般に,\ {原点を通らない円は,\ 原点を通らない円に移される.} 本問は内部の円であるから,\ 外部の円に移る. 反転の前後で,\ 点がどのように対応するかを要確認(相似拡大ではない).  以上から,\ 反転図形は,\ 次のようにまとめられる. 原点を通る直線}   → 原点を通る直線(自分自身)} 原点を通らない直線 → 原点を通る円 原点を通る円    → 原点を通らない直線 原点を通らない円}  → 原点を通らない円}
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