円に関する極と極線（共役定理）

点A$(5,\ 2)$から円\ $x^2+y^2=9$\ に引いた2本の接線の接点をそれぞれP,\ Qとする \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ とき,\ 直線PQの方程式\ $\ell$\ を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 直線\ $\ell$\ 上にあり,\ 円の外部にある点Bから円に引いた2本の接線の接点を通る直 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 線が,\ 点A$(5,\ 2)$を通ることを示せ. \\ 円に関する極と極線 2接点の座標を求めた後にその2点を通る直線を求めようとすると計算が大変である. \\[.2zh] 非常にうまい解法が知られているので,\ 習得しておく必要がある. \\[1zh] まず,\ 2つの接点をそれぞれ文字で設定し,\ 接線の方程式を作成する. \\[.2zh] 円x^2+y^2=r^2\,上の点(s,\ t)における接線の方程式は　\bm{sx+ty=r^2} \\[1zh] さらに,\ 2つの接線が点\mathRM{A}(5,\ 2)を通るための条件を立式する. \\[.2zh] 5p_1+2p_2=9,\ 5q_1+2q_2=9は,\ 5x+2y=9に(p_1,\ p_2),\ (q_1,\ q_2)を代入した式である. \\[.2zh] これは,\ 直線5x+2y=9上に2点\text P(p_1,\ p_2),\ \text Q(q_1,\ q_2)があることを意味する. \\[.2zh] \bm{2点\mathRM{P,\ Q}を通る直線はただ1本であるから,\ 5x+2y=9が求める直線\,\ell\,}である. \\[1zh] 本問の根幹は,\ \bm{5p_1+2p_2=9という式のとらえ方が2通りある}ことにある. \\[.5zh] 　\bm{5p_1+2p_2=9\ \Longleftrightarrow\ 直線p_1x+p_2y=9上に点(5,\ 2)がある} 直線5x+2y=9上に点(p_1,\ p_2)がある} \\[.5zh] 5q_1+2q_2=9についても同様である. \\[.2zh] このような観点でとらえると,\ 本問の結果はほぼ自明である. \\[1zh] 本問の構図において,\ \bm{\textcolor{blue}{点\mathRM{Aを円に関する極,\ 直線PQ}を円に関する極線}}という. \\[1zh] 点\text Aを(x_1,\ y_1)として一般化すると,\ 円x^2+y^2=r^2\,の極\text Aに関する極線は　x_1x+y_1y=r^2 \\[.2zh] ここで,\ 接点(x_1,\ y_1)における円x^2+y^2=r^2\,の接線の方程式は,\ x_1x+y_1y=r^2\,であった. \\[.2zh] よって,\ x_1x+y_1y=r^2\,の図形的意味をまとめると以下となる. 点(x_1,\ y_1)が円外にある\ \longrightarrow\ x_1x+y_1y=r^2\,は極線 \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)が円上にある\ \longrightarrow\ x_1x+y_1y=r^2\,は接線 点\mathRM{Bと接点S,\ Tをすべて文字で設定して処理していく.} \\[1zh] まず,\ 点\text Bが直線\,\ell\,上にある条件を立式すると,\ 5a+2b=9となる. \\[.2zh] 次に,\ \mathRM{直線ST}の方程式を(1)と同じ方法で求めると,\ ax+by=9となる. \\[.2zh] 5a+2b=9は,\ ax+by=9に(5,\ 2)を代入した式とみることもできる. \\[.2zh] これは,\ 直線\mathRM{ST}上に点\mathRM{A}があることを意味するわけである. \\[1zh] 本問の根幹は,\ \bm{5a+2b=9という式のとらえ方が2通りある}ことにある. \\[.5zh] 　\bm{5a+2b=9\ \Longleftrightarrow\ 直線5x+2y=9上に点(a,\ b)がある} \\[.2zh] 　\bm{\phantom{5a+2b=9}\ \Longleftrightarrow\ 直線ax+by=9上に点(5,\ 2)がある} \\[1zh] 本問は,\ \bm{\mathRM{\textcolor{blue}{極Aの極線がBを通るとき,\ 極Bの極線がAを通る}}}ことが背景にある(共役定理　点A$(1,2)$を通る直線$\ell$と円$C:x^2+y^2=9$との交点をP,\ Qとし,\ P,\ Qにおけ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ る円$C$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする.\ \ $\ell$が原点を通らないように動くとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 2直線$\ell_1$,\ $\ell_2$の交点の軌跡を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ (1)の軌跡上の点Bを通り円Cに接する2本の接線の接点をS,\ Tとするとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 直線STが点Bによらず通る定点を求めよ. \\ (1)\ \ 軌跡は今後の学習内容だが,\ 極線のことなので本項でまとめて取り上げる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 本項では軌跡の求め方のみを端的に解説するに留める. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{軌跡上の動点を(X,\ Y)とおき,\ この点が満たすべき条件を立式すると,\ それが軌跡}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 与えられた条件は,\ \bm{直線\,\ell\,(直線\text{PQ})が点(1,\ 2)を通る}ことである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 直線\,\ell\,は極\text Rに関する極線なので,\ 前問と同様にして求めることができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は点(1,\ 2)を通る条件を立式すると,\ 点\text R(X,\ Y)が描く軌跡の方程式となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (X,\ Y)は,\ (x,\ y)として答えるのが普通である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 点\mathRM{A}を(x_1,\ y_1),\ 円の半径をrとして一般化すると,\ 軌跡の方程式はx_1x+y_1y=r^2\,となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問は,\ \bm{点(x_1,\ y_1)が円内にある場合のx_1x+y_1y=r^2\,}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この時,\ \bm{x_1x+y_1y=r^2\,は点\text Aを通る弦の両端を接点とする2本の接線の交点の軌跡}を表す. \\[1zh] (2)\ \ まず,\ 点\text Bを文字で設定し,\ 直線x+2y=9上にある条件を立式する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 直線\text{ST}は,\ 点\text Bに関する極線なので,\ 同様にして求めることができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ aを消去した後,\ bの値によらず等式が成立するような点(x,\ y)を求めればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 要は,\ \bm{bについての恒等式}であるから,\ bで整理した後に係数比較する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \bm{\mathRM{極Aの極線がBを通るとき,\ 極Bの極線がAを通る(共役定理)}}が成り立つ.