円に関する極と極線

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極Aや極Aの極線上の極Bを動かして見てください。極Aや極Bを円周上にもってくるとどうなるでしょう。ソフトの都合上、円周上に持ってくるときは円と座標軸との交点に持ってくると合わせやすいです。極Aが円の内部にあるときの話もいろいろあるのですが、まだ取り上げておりません。極Aを原点に持ってくると・・・。

点A$(5,\ 2)$から円\ $x²+y²=9$\ に引いた2本の接線の接点をそれぞれ \ P,\ Qとするとき,\ 直線PQの方程式\ $ℓ$\ を求めよ. \ 直線\ $ℓ$\ 上にあり,\ 円の外部にある点Bから円に引いた2本の接線の \ 接点を通る直線が,\ 点A$(5,\ 2)$を通ることを示せ. 真面目に接点の座標を求めてから直線を求めようとすると計算が大変である. この解法をパターンとして覚えておこう. まず,\ 接点を文字で設定し,\ 接線の方程式を作成する. 円\ x²+y²=r²\ 上の点(s,\ t)における接線の方程式は {sx+ty=r²} 次に,\ 2つの接線が点{A}を通るように条件を立てる. さて,\ 5x+2y=9という直線を考えよう. {点(p₁,\ p₂)が直線\ 5x+2y=9\ 上にあるとき,\ 5p₁+2p₂=9\ が成立する.} 逆に,\ {5p₁+2p₂=9\ ならば,\ 点(p₁,\ p₂)は直線\ 5x+2y=9\ 上にある.} よって,\ {点{Pと点Q}は直線\ 5x+2y=9\ 上にある}といえる. ここで,\ {2点が定まれば,\ ただ1本の直線が定まる.} 故に,\ {2点{P,\ Q}を通る直線は5x+2y=9に限られ,\ これが求める直線}である. 本問の構図において,\ {点{Aを円に関する極,\ 直線PQ}を円に関する極線という. 一般化すると,\ 円x²+y²=r²の極(x₁,\ y₁)に関する極線は x₁x+y₁y=r² また,\ 接点(x₁,\ y₁)における円\ x²+y²=r²\ の接線の方程式は x₁x+y₁y=r² このように,\ この2つは完全に一致している. よって,\ x₁x+y₁y=r²\ の図形的意味をまとめると次となる. 点(x₁,\ y₁)が円外にある\ →\ x₁x+y₁y=r²\ は極線 点(x₁,\ y₁)が円上にある\ →\ x₁x+y₁y=r²\ は接線 点Bは直線\ $5x+2y=9$\ 上にあるから $5a+2b=9}$ { }\ 接点を\ ${S(s₁,\ s₂),\ T(t₁,\ t₂)$\ とする. { }\ 接点S,\ Tにおける接線の方程式は  これが点B$(a,\ b)$を通るから  { }\ これは,\ ${直線ST上に点A(5,\ 2)がある}ことを意味している.}$ $ 直線STは点A(5,\ 2)を通る. 点{Bと接点S,\ Tを全て文字で設定して処理していく.} 次に,\ {直線ST}をと同じ方法で求めると,\ ax+by=9\ が導かれる. 試しに{(5,\ 2)を代入してみると,\ 5a+2b=9}\ となり,\ 先の式と一致する. 1つ目の\ 5a+2b=9\ は,\ 直線{PQ}上に点{B}があることを意味する. 2つ目の\ 5a+2b=9\ は,\ 直線{ST}上に点{A}があることを意味する. 結局,\ 次の同値関係を利用して,\ 題意が示されるのである.  {5a+2b=95x+2y=9\ 上に点(a,\ b)がある} 本問は,\ 極Aの極線がBを通るとき,\ 極Bの極線がAを通ることを主張する
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