点(7,\ 1)から円\ x^2+y^2=25\ に引いた接線の方程式を求めよ.$ \\ 円外の点から引いた接線の方程式}}}} \\\\ \textbf{「\textcolor{cyan}{点Aにおける接線}」ではなく,\ 「\textcolor{red}{点Aから引いた接線}」である}ことに注意する. \\[.2zh] 要は,\ \textbf{「\textcolor{cyan}{点Aが接点である}」か「\textcolor{red}{点Aが接点ではない}」かの違い}である. \\\\ \textbf{\textcolor{blue}{接線の公式の利用が圧倒的に簡潔}}だが,\ 3つの解法を示した. \\[.2zh] 問題で誘導されることも想定し,\ すべて習得しておくことが望ましい. \\\\\\ $[1]$\ \ [\,\textcolor{blue}{接線の方程式の公式}\,] \\[1zh] \phantom{ $[3]$}\ 接点の座標を$\textcolor{cyan}{(s,\ t)}$とおく. \\[.8zh] \phantom{ $[3]$}\ 接線の方程式は $(s,\ t)は円x^2+y^2=25上の点であるから \bm{接点が不明な接線の問題では,\ 最初に接点を文字で設定する}のが基本である. \\[.2zh] すると,\ 接線の方程式の公式が利用できるようになる. \\[.2zh] 後は,\ \bm{接線が(7,\ 1)を通る条件と接点が円周上にある条件を立式して連立}すればよい. \\[.2zh] 円外の点から引ける接線は2本存在するので,\ 2組の接点(s,\ t)が求まるはずである. \\[1zh] 簡潔であることに加え,\ \bm{接線の方程式を求める過程で接点も求まる}というメリットがある. \\[1zh] なお,\ 中心と接点を結ぶ線分および2本の接線で囲まれた部分は\bm{正方形}となる. {\,$(中心と直線の距離)=(円の半径)$}\,点(7,\ 1)から引いた接線はx軸に垂直ではない}}}$から,\ $y-1=m(x-7)$とおける. \\[.5zh] \phantom{ $[3]$}\ つまり $\textcolor{cyan}{mx-y-7m+1=0} \cdots\cdots\,\maru1$ \\[1zh] \phantom{ $[3]$}\ 円の中心$(0,\ 0)と直線\maru1との距離が円の半径と等しいから$ \phantom{ $[3]$}\ 両辺を2乗して $(-\,7m+1)^2=25(m^2+1)$ {\small [\,\textcolor{brown}{両辺が0以上なので2乗しても同値}\,]} \bm{直線を基本形y=mx+nで設定するとき,\ x軸に垂直な直線の場合分けを要する.} \\[.2zh] x軸に垂直な直線には傾きが存在しないからである. \\[.2zh] 本問の場合は接線がx軸と垂直にある可能性はないから,\ それを確認した上で基本形で設定する. \\[1zh] 中心と直線の距離を点と距離の公式で求め,\ 半径と一致するようにmの値を定めればよい. \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)と直線ax_1+by_1+c=0の距離 \bunsuu{\zettaiti{ax_1+by_1+c}}{\ruizyoukon{a^2+b^2}} 接する$\ \Longleftrightarrow\ $重解}\,{点(7,\ 1)から引いた接線はx軸に垂直ではない}}}$から,\ $y-1=m(x-7)$とおける. \phantom{ $[3]$}\ \maru1を円の方程式に代入すると $x^2+(mx-7m+1)^2=25$ \phantom{ $[3]$}\ \maru2の判別式をDとする. \D=0}\ より 接点の座標を求めたい場合,\ mの値を\maru2に代入して解く必要はなく,\ 以下のようにする. \\[1zh] 2次方程式\ ax^2+bx+c=0\ の解は x=\bunsuu{-\,b\pm\ruizyoukon{b^2-4ac}}{2a} \\[.5zh] D=b^2-4ac=0\ のとき \bm{重解\ x=-\bunsuu{b}{2a}} \\\\
