円と放物線の位置関係

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parabola
場合分けの境目は,\ 円と放物線が接するときである.  本問は,\ 図形的観点と数式的観点の両面から攻める必要がある.  基本的には図形的に考え,\ 接する場合の条件を数式で考えることになる. まず,\ 何が固定されていて,\ 何が変化するかを確認する. 本問は,\ 放物線が固定され,\ 円が変化するパターンである. さらに,\ 円の半径2と円の中心のx座標0も固定されている. つまり,\ {変化するのは円の中心のy座標a}だけである. よって,\ 円の中心をy軸上で動かし,\ 共有点の個数を考える. さて,\ 円をy軸の負から正の向きに動かしていく. 上図の3パターンは,\ 全て図形的な考察で済む. 最初,\ 円と放物線は共有点をもたない(上左図). 共有点の個数は,\ {中心と頂点の距離が円の半径に等しくなる瞬間に変化}する. このとき,\ {放物線と円は原点で接し,\ 共有点1個となる}(上中図). ここらから少しでもy軸正方向に動くと,\ 2個の共有点をもつ(上右図). {接する瞬間を境に共有点が変化する}ことを強く意識しておく.  ゆえに 図より $共有点\ 3個}$ 次に共有点の個数が変化するのは,\ {再び原点で接するとき}である. 一般には,\ この瞬間の共有点の個数は,\ 上図(左1個と右3個)の2通りが存在する. よって,\ 本問の場合にどちらの型になるかを確認する必要がある. 感覚的には上右図となると予想できるが,\ それは数学ではない. {図形的観点だけでは曖昧さが残る場合,\ 数式的観点から厳密さを追求する.} {図形的な共有点の個数は,\ 数式的には連立方程式の解の個数}である. よって,\ 放物線とa=2における円の方程式を連立し,\ 解の個数を求める. このとき,\ {x²を消去してyの2次方程式に帰着させる}のが最大のポイントである. 一見するとyを消去したくなるが,\ xの4次方程式となってしまい厄介である. さて,\ {連立方程式で文字を消去するとき,\ 消去する文字の実数条件に注意}する. 今,\ {y=x²より,\ y0という隠れた条件が存在する.} もしだとすると,\ これに対応する実数xが存在しなくなってしまう. 実数が存在しないということは,\ 座標平面上の点ではないということである. 逆に言えば,\ {y0であれば,\ 対応する実数xが存在し,\ それが共有点となる.} x²を消去したyの2次方程式を解いて求まるのは,\ 共有点のy座標である. {yが2つ求まる(共有点のy座標2個)から,\ 上左図となる可能性が排除される.} ここで,\ 共有点の個数を考えるとき,\ yとxの個数の対応関係に注意する. y=x²\ において,\ yとxの個数は1対1対応ではない. よって,\ y=0,\ 3の2個だからといって,\ 共有点2個と考えてはいけない. の2個が対応する(1対2で対応).} ゆえに,\ 共有点の個数は全部で3個あることになる. 図形的に見ると,\ 共有点3個(y座標2個,\ x座標3個)が納得できるだろう. では,\ 1つのyに対し,\ 常にy軸対称なxが2つ対応している. 本問に限らず,\ {図形(共有点)と数式(実数解)の相互関係}の認識が常に重要である. 放物線と円が2点で接する条件は,\ が}$正の重解を持つこと}であるから$     (i)より $a={17}{4$  これは(ii)を満たす もし,\ a=2のときに共有点1個となる型ならば,\ では共有点0個である. a=2のときに共有点3個となる場合,\ ではさらに3つの場合分けを要する. a=2の瞬間から少しでもy軸正方向に動くと,\ 4個の共有点を持つ. さらに動くと,\ 接する瞬間(共有点2個)を経て,\ 共有点0個となる. よって,\ {放物線と円が2点で接するときのaを求めればよい.} 接するとき,\ {y座標は1個であるから,\ 2次方程式の重解条件に帰着}する. ただし,\ y0という隠れた条件にも注意する. また,\ 頂点である原点で接する場合を重解でとらえることはできない. 「接する重解」が常にいえるのは,\ 整関数同士の場合のみである. 結局,\ {正の重解}を持つ条件を考えることになる.\ {「D=0\ かつ\ 軸\  以上を全て考慮した最終的な答えが次である. のとき 共有点\ 0個 a=-2 のとき 共有点\ 1個 のとき 共有点\ 2個 a=2 のとき 共有点\ 3個 のとき 共有点\ 4個 a={17}{4} のとき 共有点\ 2個 のとき 共有点
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