円の方程式の基本形と一般形、座標軸と接する円

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中心(a,\ b),\ 半径rの円の方程式(基本形)}{原点中心,\ 半径rの円の方程式}{x^2+y^2+lx+my+n=0 「円とは何か」と問われれば,\ 数学的には\bm{「\,1点からの距離が等しい点の集合\,」}である. \\[.2zh] この条件を数式で表現したものが,\ いわゆる円の方程式である. \\[1zh] \bm{円周上の任意の点(x,\ y)と中心(a,\ b)の距離は常に一定(=r)}である. \\[.2zh] 2点間の距離の公式より \ruizyoukon{(x-a)^2+(y-b)^2}=r \\[.2zh] これを2乗すると,\ 円の方程式の基本形[1]が得られる. \\[.2zh] 基本形のメリットは,\ \bm{円の中心(a,\ b)と半径rが直ちにわかる}ことである. \\[1zh] \text{[1]}を展開すると (x^2-2ax+a^2)+(y^2-2by+b^2)-r^2=0 \\[.2zh] 整理して    \ \ x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0 \\[.2zh] -\,2a=l,\ -\,2b=m,\ a^2+b^2-r^2=n\ とおくと,\ 円の方程式の一般形[2]が得られる. \\[1zh] 円の方程式は必ず一般形[2]で表せるが,\ \bm{[2]の式が常に円を表すとは限らない}ことに注意を要する. \\[.2zh] 詳しくは別項で確認する. \\[1zh] 一般に,\ \bm{ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0}で表される図形を\bm{2次曲線}という. \\[.2zh] \bm{a=cかつb=0}のとき円の方程式(一般形)となるから,\ 円は2次曲線の一種である. \\[.2zh] 円以外の2次曲線は,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の学習内容である. 次の円の方程式を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 点$(1,\ 2)$を中心とし,\ 点$(4,\ -\,3)$を通る円 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 2点$(-\,1,\ 3),\ (4,\ -\,2)$を直径の両端とする円 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 点$(3,\ 1)$を中心とし,\ 直線$y=2x$に接する円 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $x$軸と$y$軸に接し,\ 点$(-\,2,\ 1)$を通る円 \\  (2)\ \ 円の中心の座標は  (3)\ \ 点$\textcolor{cyan}{(3,\ 1)}$と直線$2x-y=0$の距離は $は第2象限の点であるから,\ 条件を満たす円の中心も第2象限にある.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 半径を$r\,(とすると中心の座標は\textcolor{red}{$(-\,r,\ r)$}より,\ $\textcolor{red}{(x+r)^2+(y-r)^2=r^2}$とおける. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ 点$\textcolor{cyan}{(-\,2,\ 1)}$を通るから $(\textcolor{cyan}{-\,2}+r)^2+(\textcolor{cyan}{1}-r)^2=r^2$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 整理すると $r^2-6r+5=0$    よって $r=1,\ 5$ \\\\ \centerline{$\therefore \bm{(x+1)^2+(y-1)^2=1,\ \ (x+5)^2+(y-5)^2=25}$ \bm{中心や半径が既知または容易に求まる場合,\ 基本形で考える}とよい. \\[1zh] (1)\ \ \bm{中心と通る1点の2点間の距離}を求めれば,\ それが半径である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ r^2\,さえ求まれば円の方程式が求まるから,\ わざわざrを求める必要はない. \\[1zh] (2)\ \ \bm{直径の両端の2点の中点が円の中心}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2点(x_1,\ x_2),\ (y_1,\ y_2)の中点は \left(\bunsuu{x_1+y_1}{2},\ \bunsuu{x_2+y_2}{2}\right) \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 半径は,\ \bm{2つの端点のうちの一方と中心の2点間の距離}として求めればよい. \\[1zh] (3)\ \ \bm{円の中心と直線の距離が半径}であるから,\ \bm{点と直線の距離の公式}で求める. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離 \bunsuu{\zettaiti{ax_1+by_1+c}}{\ruizyoukon{a^2+b^2}} \\\\ (4)\ \ \bm{y軸と接するとき,\ 中心のx座標の\dot{絶}\dot{対}\dot{値}が半径に等しくなる.}\ y座標についても同様である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 半径と等しいのはあくまでも絶対値なので,\ \bm{中心の座標を設定するときは正負に注意}を要する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 条件を満たす円は2つ,\ 中心(-\,1,\ 1),\ 半径1の円と中心(-\,5,\ 5),\ 半径5の円がある.
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