定点を通る円、2円の交点を通る直線と円(円束)

後半の問題のの解答が「3x-2y+6=0」となっていますが、「3x+2y-6=0」の誤りですm(_ _)m

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スライダーを動かして方程式がkの値によってどう変化するか確認してください。

特にk=-1とk=0のとき、そして中心原点の円は表せないことが重要です。

円$\ (k+1)x²+(k+1)y²-6x-4y-4k+8=0\ が定数kの値にかか$ わらず常に通る2点の座標を求めよ.  問題を次のように言い換えて解く.「kの値に関係なく通る定点の座標}」}$kに何を代入しても式が成立するような(x,\ y)を求める}」}$   ${→「kについての恒等式となるよう(x,\ y)を定める}」}$  $kについて整理すると {「kの値によらず\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0」「f(x,\ y)=g(x,\ y)=0」} 後は連立方程式を解くだけだが,\ 1次の連立方程式のように1文字消去ができない. まず,\ {-}を計算し,\ {2次の項を消去}する(). これで,\ 2次式と1次式の連立方程式に帰着する. {同値関係 さて,\ この{同値関係の図形的意味}を理解しておくことが後の応用につながる. 図形的には,\ とは円,\ は直線を表す. 解の図形的意味は,\ 円と直線の交点の座標}である. つまり,\ {2円の交点を,\ 1円と1直線の交点として求めたことになる}のである. これは,\ {が2円,\ の2つの交点を通る直線}であることも意味している. 2つの交点を通る直線の方程式を求めよ.  \ 2つの交点を通り,\ 点$(6,\ 0)$を通る円の中心と半径を求めよ.  先の問題の要点をもう一度確認する. \円\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0\ が必ず通る点}」  これを逆に考える. 交点を通る直線と円 この式で,\ {kをどのように変えても,\ 円\ f(x,\ y)=0\ を表すことはできない.} これは,\ {kf(x,\ y)+lg(x,\ y)=0}\ と設定すると克服できる. これにより,\ k=1,\ l=0\ とすると,\ 円\ f(x,\ y)=0\ が得られるようになる. 実際には,\ 問題が生じない限り,\ 扱いやすい\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0\ を用いる. この定点を通る円全体の集合を{「円束(そく)」}という. 一般形に変形}]$}  $C₁とC₂の交点を通る曲線の方程式  \ 求める直線は,\ において,\ $k=-1}$として得られる. \ {2つの円の交点を通る直線はただ1本}しかない. \ ここで,\ に{k=-1を代入すると,\ 2次の項が消え,\ 直線の方程式となる.} \ 当然,\ この直線は2つの円の交点を通る. \ 2円の交点を通る直線は1本しかなく,\ 2円の交点を通る直線が求まった. \ よって,\ {k=-1のときに求まる直線が,\ 題意の直線}なのである. \ 先の問題で,\ C₁とC₂の交点を\ \ このときの{C₁-C₂は,\ 2円の2つの交点を通る直線}であった. \ {k=-1の代入は,\ 結局はこのC₁-C₂を求めたことに等しい.} \ 通る点を代入してkの値を定めるだけである. 本問を真面目に求めようとすると,\ 次のような手順になる. まず,\ C₁とC₂の2つの交点を,\ 連立方程式を解いて求める. 2交点を通る直線は,\ 連立方程式の2つの解を通る直線として求める. 2交点と点(6,\ 0)を通る円は,\ 3点が与えられた場合の円の方程式として求める. 一般形\ x²+y²+lx+my+n=0\ に3点の座標を代入し,\ l,\ m,\ nを定める. C₁とC₂の交点の値が汚く,\ その後の計算が困難であることが少なくない. やはり,\ 本解のような方法を習得しておくべきである.
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