2つの円の共通接線の方程式

common-tangent
2つの円\ C₁:x²+y²=4,C₂:(x-4)²+y²=1\ の両方に接する直線$ $は全部で4本ある.\ この4本の直線の方程式を求めよ.   [宮崎大]$ 共通接線の本数は,\ 2つの円の位置関係によって変わる.  2つの円が離れているとき,\ 共通外接線2本と共通内接線2本が存在する.  複数の解法が考えられるが,\ 最も簡潔なのが次の条件を考える方法である. 円${C₁}$の接線と円${C₂}$の中心との距離が円${C₂}$の半径に等しい.  直線と$と円C₂の中心(4,\ 0)の距離は   直線が$円C₂と接する条件は 状況的に,\ {共通接線は4本求まるはず}だと予想しつつ,\ 問題を解いていく. 接点が不明なので,\ {接点を文字でおいて接線の方程式の公式を適用}する. これと円C₂が接する条件は,\ {中心(4,\ 0)との距離が半径1と等しい}ことである. さらに,\ 接点が円C₁上にある条件を使うと,\ 絶対値付き方程式に帰着する.(瞬殺) sが求まるから,\ 後はtを求めて接線の方程式に代入すればよい. 自動的に4本の接線の方程式全てが求まる. 共通接線は,\ 他にも以下のような解法が考えられる.  \ 円C₁の接線の方程式と円C₂の接線の方程式が一致する条件を考える.  \ 円C₁の接線の方程式が円C₂と接する条件を判別式でとらえる.  [3]\ y=mx+nと設定し,\ 円C₁,\ C₂のそれぞれと接する条件を考える.  [4]\ 直角三角形の相似を利用し,\ 幾何的に解く. しかし,\ 次のような理由で,\ 本解に比べると不利となる.  \ 4つの未知数が登場し,\ 直線の一致条件の処理が思いの外ややこしい. { }\ ただし,\ 8個の接点の座標は求めやすい.  \ 判別式は計算が大変.\ ただし,\ 残り4個の接点の座標は求めやすい.  [3]\ x軸に垂直な直線の場合分けを要する.\ また,\ 接する条件が2つ必要.  [4]\ 共通外接線と共通内接線の場合を分けて考える必要がある. 結局,\ 「接線の公式」「点と直線の距離の公式」でいいとこ取りをした本解が推奨. 少ない労力で,\ {「接線4本(全部)」「接点4個(半分)」が一気に求まる.}
タイトルとURLをコピーしました