ベクトルを利用する証明はこちら。
\ x^2+y^2=r^2\,上の点(x_1,\ y_1)における接線の方程式}}$ {接点P$(x_1,\ y_1)$が座標軸上にない}とき,\ $\textcolor{red}{x_1\neqq0,\ y_1\neqq0}$である. \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ 求める接線の方程式は,\ 直線OPに垂直で,\ 点P$\textcolor{red}{(x_1,\ y_1)}$を通る直線である. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ 直線OPの傾きは$\bunsuu{y_1}{x_1}$であるから,\ 接線の傾きは$\textcolor{cyan}{-\bunsuu{x_1}{y_1}}$である. \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ 求める接線の方程式は \phantom{ [1]}\ \ ここで,\ 点P$(x_1,\ y_1)$は円$x^2+y^2=r^2$上にあるから 接点P$(x_1,\ y_1)$が座標軸上にある}とき \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ $\textcolor{red}{(x_1,\ y_1)=(\pm\,r,\ 0)}$のとき 接線の方程式は\ $\bm{\textcolor{blue}{x=\pm\,r}}$\ (複号同順) \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ \ $\textcolor{red}{(x_1,\ y_1)=(0,\ \pm\,r)}$のとき 接線の方程式は\ $\bm{\textcolor{blue}{y=\pm\,r}}$\ (複号同順) \\[.5zh] 円の接線の方程式は,\ \bm{暗記必須}の公式である. \\[.2zh] \bm{円の方程式の2乗のうち1つの(x,\ y)を接点(x_1,\ y_1)に変える}だけなので,\ 非常に覚えやすい. \\[1zh] 本項では,\ ほぼ自然な流れの標準的な証明を示した. \\[.2zh] \bm{接点における接線と垂直な直線が原点を通る}ことを利用するものである. \\[.2zh] ベクトルによる証明が簡潔だが,\ これはベクトル分野で学習する. \\[1zh] \bm{直線の傾きの分母にx_1,\ y_1\,がくるので,\ これが0になる場合を分ける}必要が生じる. \\[.2zh] 2直線y=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\,の垂直条件 \bm{m_1m_2=-\,1} \\[.2zh] 1点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線の方程式 y-y_1=m(x-x_1) \\[.2zh] 最後,\ 点\text Pが円上にある条件も考慮して,\ 公式が導かれる. 中心$(a,\ b)$の円$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$上の点P$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式を求める. \\[1zh] $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$の中心が原点となるよう,\ \textcolor{magenta}{$x$方向に$-\,a$,\ $y$方向に$-\,b$平行移動}する. \\[.2zh] このとき,\ 点P$(x_1,\ y_1)$はP$'(x_1-a,\ y_1-b)$に移る. \\[1zh] 円$x^2+y^2=r^2$上の点P$'(x_1-a,\ y_1-b)$における接線は $(x_1-a)x+(y_1-b)y=r^2$ \\[.2zh] \textcolor{magenta}{$x$方向に$a$,\ $y$方向に$b$平行移動}すると $\bm{\textcolor{blue}{(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2}}$ 中心が原点となるように平行移動し,\ 先に証明したx_1x+y_1y=r^2\,を利用する. \\[.2zh] x方向にa,\ y方向にb平行移動するとき,\ x\,→\,x-a,\ y\,→\,y-bとすればよいのであった. 円(x-2)^2+(y-1)^2=25上の点(6,\ 4)における接線の方程式を求めよ. 円の接線は様々な方法で求めることができるが,\ \textbf{\textcolor{blue}{接線の公式の利用が別次元に簡潔}}である. \\[.2zh] そもそも接線を求める過程を一般化して公式が導かれているので,\ 瞬殺できて当然である. \\[1zh] $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{接線の方程式の公式}} \hspace{.93zw}$[2]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{接線$\bm{\perp}$半径}} \\[.5zh] $[3]$\ \ $\bm{\textcolor{red}{(中心と直線の距離)=(円の半径)}}$ $[4]$\ \ \textbf{\textcolor{red}{接する$\bm{\ \Longleftrightarrow\ }$重解}} \\\\\\ $[1]$\ \ [\,\textcolor{blue}{接線の方程式の公式}\, $[2]$\ \ [\textcolor{blue}{\,接線$\perp$半径}\,] \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 円の中心$(2,\ 1)と接点(6,\ 4)を通る直線の傾きは \bunsuu{4-1}{6-2}=\bunsuu34$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 接線の方程式の傾きを$m$とすると $[3]$\ \ [\,$\textcolor{blue}{(中心と直線の距離)=(円の半径)}$\, \phantom{ $[3]$}\ \ 円の中心$(2,\ 1)$と直線\maru1との距離が円の半径と等しいから \ \phantom{ $[3]$}\ \ 両辺を2乗して $(-\,4m+3)^2=25(m^2+1)$ {\small [\,\textcolor{brown}{両辺が0以上なので2乗しても同値 \centerline{$\therefore mの値を\maru1に代入して整理すると \bm{4x+3y-36=0}$} \bm{直線を基本形\ y=mx+n\ で設定するとき,\ x軸に垂直な直線の場合分けを要する.} \\[.2zh] x軸に垂直な直線には傾きが存在しないからである. \\[.2zh] 本問の場合は接線がx軸と垂直になる可能性はないから,\ それを確認した上で基本形で設定する. \\[1zh] 中心と直線の距離を\bm{点と直線の距離の公式}で求め,\ 半径と一致するようにmの値を定めればよい. \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離 \bunsuu{\zettaiti{ax_1+by_1+c}}{\ruizyoukon{a^2+b^2}} 接する$\,\Longleftrightarrow\,$重解}\,
