円周上の点における接線の方程式 x₁x+y₁y=r²

circle-tangent1
様々な解法が考えられる.\ しかし,\ 接線の公式の利用が別次元に簡潔である.   $$\ 接線の方程式の公式}{接線${⊥}$半径   $[3]$\ ${(中心と直線の距離)=(円の半径)接する$$重解  ${円\ x²+y²=r²\ 上の点(x₁,\ y₁)における接線の方程式円\ (x-a)²+(y-b)²=r²\ 上の点(x₁,\ y₁)における接線の方程式 覚えていない学生が意外に多いが,\ {暗記必須}の公式である. 円の方程式で,\ {2乗のうち1つの(x,\ y)を接点(x₁,\ y₁)に変える}だけである. 接線の方程式の公式接線$⊥$半径} 円の中心$(2,\ 1)と接点(6,\ 4)を通る直線の傾きは {4-1}{6-2}=34$ { $$}\ 接線の方程式の傾きを$m$とすると  傾きlの直線と傾きmの直線の垂直条件は {lm=-1} 点(x₁,\ y₁)を通る傾きmの直線は {y-y₁=m(x-x₁)} この解法を一般化した結果として得られるのが,\ 接線の方程式の公式である. 公式を導くとき,\ 座標軸に平行な直線を場合分けして考える必要がある. それも全て含まれ,\ {何も考えず一発で適用できるのが接線の方程式の公式}である. 以上のことから,\ 公式の圧倒的な優位性がわかる.\ ゆえに,\ 暗記必須なのである. (中心と直線の距離)=(円の半径)}$における接線はx軸に垂直ではない.}$ { $[3]$}\ よって $y-4=m(x-6)\ とおける.$ { $[3]$}\ これを一般形に変形して  { $[3]$}\ 円の中心$(2,\ 1)と直線の距離は$ \これが円の半径に等しいから両辺を2乗して $(-4m+3)²=25(m²+1)$ { $[3]$}\ 整理して  mの値をに代入して整理すると 直線を基本形\ y=mx+n\ で設定する場合,\ x軸に垂直な直線の場合分けを要する. x軸に垂直な直線は,\ 傾きが存在しないからである. 本問は,\ 接線がx軸と垂直である可能性はないから,\ 断った上で基本形で設定する. 中心と直線の距離を{点と直線の距離の公式}で求め,\ 半径と一致するmを求める. mの値がただ1つ存在するであろうことを予想しつつ,\ 計算していく. {絶対値も根号も0以上であるから,\ 2乗しても同値}である. 接する$$重解}{点(6,\ 4)における接線はx軸に垂直ではない.}$ [3]}と同様,\ 断りをいれた上で,\ 接線を基本形で設定する. これを{円の方程式と連立し,\ 重解をもつ条件を考える.} やるべきことは単純だが,\ 相当の計算量が要求され,\ 実戦では使えない.
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