点C(1,\ 1)を中心とする半径1の円と直線$y=mx\ (m>0)$の2交点をA,\ Bとする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 三角形ABCの面積Sの最大値を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ (1)のときの$m$の値を求めよ.円の中心と弦が作る三角形の面積の最大}triangle ACHはAC=1の直角二等辺三角形}となるから,\ \textcolor{red}{CH=\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}}\,である.}$ \\[1zh] (1)\ \ 弦\mathRM{AB}の長さの求め方を学習済みの場合,\ \mathRM{AB}\times\mathRM{CH}\div2で面積を求めたくなるかもしれない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ \bm{三角形の面積の最大さえ求まればよいのなら,\ 頂角を\,\theta\,と設定して考えると瞬殺できる.} \\[1zh] (2)\ \ (1)のとき,\ \mathRM{\bm{\triangle ACH\souzi \triangle ABC}}\ (2角が等しい)である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \triangle\mathRM{ACH}は3辺の長さが1:1:\ruizyoukon2\,の直角二等辺三角形であり,\ \mathRM{CH}の長さが求まる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は,\ \bm{点と直線の距離の公式で求めた\mathRM{CH}の長さと等しくなるようにmの値を定めればよい.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離 \bunsuu{\zettaiti{ax_1+by_1+c}}の\bm{両辺は正なので,\ 2乗しても同値}である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 2(m-1)^2=m^2+1 m^2-4m+1=0 m=2\pm\ruizyoukon3 \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 少し回りくどくなるが,\ 弦\mathRM{AB}の長さに着目して求めることもできる. \\ \phantom{(1)}\ \ 両辺を2乗で\,\bunsuu{8m}{m^2+1}=2,\ つまりm^2-4m+1=0となり,\ \mathRM{CH}に着目した場合と一致する. \\\\ \phantom{(1)}\ \ なお,\ 面積に着目してしまうと以下のような等式となり,\ mの値を求めることが難しくなる. \
