円$x^2+y^2=2$が直線$y=2x+1$から切り取る弦の長さを求めよ. \\
円の弦の長さ中心から弦に垂線を下ろして直角三角形を作成し,\ 三平方の定理を用いて求める. \
円と直線の2つの交点をA,\ B,\ 線分ABの中点をHとする.
円の中心O$(0,\ 0)}$と直線$2x-y+1=0$の距離OHは [\,OAは円の半径}\,
中心から弦に下ろした垂線の足は,\ 弦の中点となる.}
△OAHと△ OBHにおいて,\ OHは共通,\ OA=OB=(円の半径)}である.
直角三角形の合同条件「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」}\ (中学で学習済)より\ \ △ OAH≡△ OBH}
よって,\ AH=BH\ である.
OH}の長さを点と直線の距離の公式}で求め,\ さらに三平方の定理でAH}を求めた後2倍すればよい.
点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離 ax_1+by_1+c{√{a^2+b^2
\end{array\right]$交点の座標を求めて2点間の距離の公式を利用}\,]
2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)間の距離 √{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
65^2をくくり出せることに着目すると,\ 楽に計算できる.
初見でも思い浮かぶ自然な解法であり,\ 交点の座標が綺麗な値になる本問では悪手とはいえない.
しかし,\ 円と直線の交点は汚い値になることが多く,\ 実戦的な方法ではない.
\,解と係数の関係の利用\,}]
求める弦の長さを$l$とする.
交点の座標を文字でおいて議論することで,\ 値が汚い場合でも楽に計算できる.
とはいっても,\ 本解に比べるとかなり面倒である.
ただし,\ 放物線や楕円など円以外の2次曲線の弦の長さを求めるときにも利用できる}方法である.
弦の長さは,\ 2変数\,α,\ β\,の対称式}\,(α\,と\,β\,を入れ替えても変わらない式)となる.
よって,\ 解と係数の関係}を利用できる.
ax^2+bx+c=0\ の2解を\ α,\ β\ とするとき α+β=- ba,\ αβ= ca}
対称式の頻出変形\ (β-α)^2=(α+β)^2-4αβ}\ は,\ 可能ならば公式として覚えておきたい.
(β-α)^2=α^2+β^2-2αβ=\{(α+β)^2-2αβ\}-2αβ=(α+β)^2-4αβ
