円$x^2+y^2=2$が直線$y=2x+1$から切り取る弦の長さを求めよ. \\ 円の弦の長さ}}中心から弦に垂線を下ろして直角三角形を作成}}し,\ \textbf{\textcolor{red}{三平方の定理}}を用いて求める. \ 円と直線の2つの交点をA,\ B,\ 線分ABの中点をHとする. \\[1zh] 円の中心O$\textcolor{forestgreen}{(0,\ 0)}$と直線$2x-y+1=0$の距離OHは [\,\textcolor{brown}{OAは円の半径}\, \bm{中心から弦に下ろした垂線の足は,\ 弦の中点となる.} \\[.2zh] \triangle\mathRM{OAHと\triangle OBHにおいて,\ OHは共通,\ OA=OB=(円の半径)}である. \\[.2zh] \bm{直角三角形の合同条件「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」}\ (中学で学習済)より\ \ \mathRM{\triangle OAH\equiv\triangle OBH} \\[.2zh] よって,\ \bm{\mathRM{AH=BH}}\ である. \\[1zh] \mathRM{OH}の長さを\bm{点と直線の距離の公式}で求め,\ さらに三平方の定理で\mathRM{AH}を求めた後2倍すればよい. \\[.2zh] 点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離 \bunsuu{\zettaiti{ax_1+by_1+c}}{\ruizyoukon{a^2+b^2}} \end{array}}\right]$}}交点の座標を求めて2点間の距離の公式を利用}\,] \\[1zh] 2点(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)間の距離 \ruizyoukon{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[.2zh] \left(\bunsuu65\right)^2をくくり出せることに着目すると,\ 楽に計算できる. \\\\ 初見でも思い浮かぶ自然な解法であり,\ 交点の座標が綺麗な値になる本問では悪手とはいえない. \\[.2zh] しかし,\ 円と直線の交点は汚い値になることが多く,\ 実戦的な方法ではない. \,解と係数の関係の利用\,}] 求める弦の長さを$l$とする. 交点の座標を文字でおいて議論することで,\ 値が汚い場合でも楽に計算できる. \\[.2zh] とはいっても,\ 本解に比べるとかなり面倒である. \\[.2zh] ただし,\ \bm{放物線や楕円など円以外の2次曲線の弦の長さを求めるときにも利用できる}方法である. \\[1zh] 弦の長さは,\ \bm{2変数\,\alpha,\ \beta\,の対称式}\,(\alpha\,と\,\beta\,を入れ替えても変わらない式)となる. \\[.2zh] よって,\ \bm{解と係数の関係}を利用できる. \\[.2zh] ax^2+bx+c=0\ の2解を\ \alpha,\ \beta\ とするとき \bm{\alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \alpha\beta=\bunsuu ca} \\[1zh] 対称式の頻出変形\ \bm{(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\ は,\ 可能ならば公式として覚えておきたい. \\[.2zh] (\beta-\alpha)^2=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta=\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\}-2\alpha\beta=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta
