円の弦の長さ

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中心から直線に垂線を下ろし,\ 三平方の定理を適用する.  円と直線の2つの交点をA,\ B,\ 線分ABの中点をHとする.  直線$y=2x+1$の一般形は   円の中心$(0,\ 0)$と直線$2x-y+1=0$の距離OHは {中心から弦に下ろした垂線の足は,\ 弦の中点となる.} {OAHと OBHにおいて,\ OHは共通,\ OA=OB=(円の半径)}である. {直角三角形の合同条件「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」}\ (中学で学習済み)より { OAHと OBH}は合同である.\ よって,\ AH=BH\ である. 中心から直線に下ろした垂線の長さは,\ {点と直線の距離の公式}で求める. 最後,\ {忘れずに2倍する.} 解と係数の関係の利用  これを整理して  交点の座標を解と係数の関係}より  求める弦の長さを$2点間の距離の公式交点のx座標である. これを\ α,\ β\ とおくと,\ y=2x+1より,\ y座標は\ 2α+1,\ 2β+1\ とおける. 解と係数の関係について確認しておく. 弦の長さは,\ {対称式}となる. 代表的変形\ {(β-α)²=(α+β)²-4αβ}\ を覚えていない場合,\ 次のようにする. が因数分解できそうなので,\ 本問に限れば,\ 普通に交点の座標から求めてもよい. 間の距離を求めればよい. をくくり出せることに着目して,\ できる限り計算を省力化する. 別解のメリットは特にないので,\ 三平方の定理を利用する本解が普通である.
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